考查圖像物理意義 培養學科核心素養
——2018年高考理綜北京卷第23題評析

陳顯盈 仇煥敏 尤愛惠

(1. 浙江省溫州中學,浙江 溫州 325000;2. 浙江省溫州市南浦實驗中學,浙江 溫州 325000)

高考題凝結了命題專家的智慧與心血,對物理教學起到良好的導向作用．2018年高考理綜北京卷第23題注重數學知識與科學思維和方法的融合,有利于培養學生的學科核心素養,體現了高考題的選拔功能、教育功能及導向作用．

1 試題呈現

圖1

(2018年理綜北京卷第23題)如圖1所示,用電動勢為E、內阻為r的電源,向滑動變阻器R供電．改變變阻器R的阻值,路端電壓U與電流I均隨著變化．

圖2

(1) 以U為縱坐標,I為橫坐標,在圖2中畫出變阻器阻值R變化過程中U-I圖像的示意圖,并說明圖像與兩坐標軸交點的物理意義．

(2) 請在圖2畫好的U-I關系圖線上任取一點,畫出帶網格的圖形,以其面積表示此時電源的輸出功率; 請推導該電源對外電路能夠輸出的最大功率及條件．

(3) 請寫出電源電動勢定義式,并結合能量守恒定律證明:電源電動勢在數值上等于內、外電路電勢降落之和．

該題以一個常見的基礎電路為載體考查U-I圖像的物理意義,注重考查學生的分析能力、推理能力、作圖能力及應用數學知識解決物理問題的能力,突出考查的基礎性、應用性、綜合性和創新性,有利于培養學生的學科核心素養．

2 試題來源

該高考題來源于課本,又高于課本,考查的問題均來源于人教版高中物理選修3-1或實驗手冊的基礎問題,既體現試題的基礎性,又體現了試題的實踐性和創新性．(1) 圖像中坐標交點、斜率、面積的物理意義在人教版高中物理選修3-1的“2.10實驗:測定電池的電動勢和內阻”(見圖3)和“2.7閉合電路的歐姆定律”中的“思考與討論”均有涉及．(2) 電源輸出功率的最值問題在教材或練習書中常常出現,常規解法注重P·R法,而題意更注重解法更簡便、更合理的P·I法．(3) 電源電動勢與內電壓和外電壓的關系式的推導過程原原本本來自“2.7閉合電路的歐姆定律”．

(a)

(b)

圖3 人教版課本中的電路圖及U-I圖像

3 試題評析

3.1 參考答案

(1) 根據U=E-Ir可得U-I圖像如圖4所示,圖像與縱坐標軸的交點表示屬于斷路情況,此時電壓U等于電源電動勢E;與橫坐標軸的交點表示短路情況,短路電流I短=E/r．

圖4 U-I圖像

(3) 電動勢定義式E=W/q,根據能量守恒定律,非靜電力做功W產生的電能等于在外電路和內電路產生的電熱,即W=I2rt+I2Rt=Irq+IRq．所以,E=Ir+IR=U內+U外．

3.2 試題評析

圖5 P·I法

第(1)小題重點考查利用閉合電路的歐姆定律繪制出U-I圖像并說明與坐標軸交點的物理意義．第(2)小題要繪制其面積表示電源輸出功率的帶網格圖形,并分析電源輸出功率的最值問題．第(3)小題結合電動勢定義式及能量守恒思想推導電源電動勢與內電壓和外電壓的關系式．對于第(2)小題求最值問題,許多參考答案會采用常規的P·R公式法,但此方法推導過程繁瑣且涉及不等式法．其實,此題用P·I法更簡便、更符合出題人的意圖．P·I公式法的解題過程如下:輸出功率P=UI=(E-Ir)I,當I=0或I=E/r時,P=0,可得該二次函數的圖像是一條開口向下的拋物線(見圖5)．當I=E/2r,即當R=r時,電源輸出電功率最大,Pmax=E2/4r．

4 試題拓展

該高考題考查了U-I圖像的部分數學含義對應的物理意義,那么該U-I圖像還包含哪些數學含義及其物理意義呢?具體數學含義與物理意義的分析總結見圖6及表1．

a. 截距、斜率、線段 b. 面積

序號數學含義物理意義1數學公式(U=E-Ir)表示輸出電壓U與電流I的關系2線型(斜向下直線)① 直線:表示U與I成線性關系② 斜向下:表示I增大時U減小3截距① 橫坐標截距:短路電流I短=E/r② 縱坐標截距:電源電動勢E4斜率(絕對值)① 斜率k1(絕對值):內阻r② OA斜率k2:滑動變阻器阻值R5線段① 線段1:輸出電壓U=U外② 線段2:內電壓U內③ 線段3:電流I6面積① 面積S1:電源輸出功率P=P外② 面積S2:電源自身消耗功率P內③ 面積S3=S1+S2:電源總功率P總

5 試題啟示

綜上所示,物理學理論的建立和發展離不開數學,數學是解決物理問題的重要工具．學生必須具備應用數學處理物理問題的能力,能夠根據具體問題列出物理量之間的關系,進行推導和求解,并根據結果得出物理結論,必要時能夠運用幾何圖形、函數圖像進行表述分析．不僅要注重“數理結合”,也要注重“數形結合”．利用數形結合思想解決物理問題,要注重根據具體問題利用物理規律推導物理量之間的函數關系,同時要分析圖像的線型、截距、斜率、線段、面積、特殊點等數學含義對應的物理意義．

總之,物理高考題具有權威性、指導性和規范性．該高考題源自課本,注重數學知識與科學思維和方法的融合考查了考查圖像的物理意義,具有濃重的科學探究氣息,突出考查的基礎性、應用性、綜合性和創新性,有利于培養學生的物理觀念、科學思維、科學探究、科學態度與責任等學科核心素養,體現了高考題的選拔功能、教育功能及導向作用．