從一道高考選擇題談最小勢能原理的應用

李 康

(江蘇省蘇州工業園區金雞湖學校,江蘇 蘇州 215000)

圖1

例1.(2018年4月浙江選考物理第13題)如圖1所示,一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A、B處,A、B兩點水平距離為16m,豎直距離為2m,A、B間繩長為20m.質量為10kg的猴子抓住套在繩子上的滑環從A處滑到B處.以A點所在水平面為參考平面,猴子在滑行過程中重力勢能最小值約為(繩處于拉直狀態)

(A) -1.2×103J. (B) -7.5×102J.

(C) -6.0×102J. (D) -2.0×102J.

1 3種解法及比較

1.1 函數思想

圖2

猴子在滑行過程中,繩處于拉直狀態,由重力勢能公式Ep=mgH(H為A點到猴子重心的豎直距離)可知,猴子到達繩上最低點C點時,重力勢能最小.如圖2所示,設B點到C點的豎直距離為h,BC段繩長為L,則AC段繩長為20-L,利用A、B兩點間的水平距離16m,建立h與L的函數關系如下

(1)

上式關系復雜,很難整理出h=f(L)的顯函數形式,對(1)式兩邊求導有

(2)

當h取最值時,有h′=0,代入(2)式整理得

(3)

1.2 解析幾何

圖3

(4)

(5)

1.3 最小勢能原理

圖4

最小勢能原理是指當一個系統的勢能最小時,系統會處于平衡狀態.因為最低點重力勢能取最小值,所以猴子在C點應處于穩定平衡狀態,只要找出受力平衡位置即可,如圖4所示.

猴子受到重力mg、兩個大小相等的拉力T而處于平衡狀態,延長AC交豎直線BF于D點,利用對稱性知 ΔCBD是以C為頂點的等腰三角形,CF為其高,故AD=20m.又DE=16m,有AE=12m,即BF=5m,因此A、C兩點間豎直距離為7m.后續過程同解法1.

點評:比較上述3種解法,解法1需建立h與L的函數關系,利用隱函數求導法則求出h的最值.由于此題在物理概念和規律上并沒有設置過難的障礙,學生都能建立了函數關系,但求最值的運算難度過大.解法2利用橢圓的定義獲取滑環運動的軌跡方程,再借助橢圓與水平直線的位置關系,求得A、C兩點間豎直距離.前兩種解法都需將大量時間分配于復雜的數學運算上,因而過于數學化而缺乏“物理味”.解法3利用最小勢能原理,將重力勢能最小值的討論轉化為對穩定平衡狀態的受力分析,結合受力的對稱性,簡單運算便能得出結果.

2 最小勢能原理的應用

2.1 力學中的應用

2.1.1 臺秤示數的變化

圖5

例2.如圖5所示,臺秤上放有盛水的杯子,杯底用細線系一木質小球,平衡時臺秤的示數為某一數值,若細線突然斷開,則在細線剛斷開的瞬間,臺秤示數的變化情況是

(A) 變大. (B) 變小.

(C) 不變. (D) 無法確定.

圖6

解析:以容器和木球組成的系統為研究對象,若細線斷開,木球將上浮至水面,因木球上浮留下的空位將由水來填充.由于相同體積的木球質量小于水球質量,所以系統重心下降,重力勢能減小直至最小值,將重新達到穩定平衡狀態.這一過程中系統處于失重狀態,臺秤示數小于總重力,故選(B).

變式1:如圖6所示,臺秤上放有盛水的杯子,通過固定在臺秤上的支架用細線懸掛一小鐵球,鐵球全部浸沒在水中,平衡時臺秤的示數為某一數值,今剪斷懸線,在鐵球下落但還沒有到達杯底的過程中(不計水的阻力),則臺秤的示數將

(A) 變大. (B) 變小.

(C) 不變. (D) 無法確定.

解析:以容器、支架和鐵球組成的系統為研究對象,若剪斷懸線,系統將重新達到穩定平衡狀態,其重力勢能減小至最小值,這一過程仍處于失重狀態,選(B).

圖7

變式2:如圖7所示,一個鐵球和一個木球用一細線拴住剛好能懸浮在水中,將裝有水的杯子放在臺秤上,讓兩球懸浮在水中,經過一段時間,浸在水中的細線突然斷開,則在細線剛斷開的瞬間,臺秤示數的變化情況是

(A) 變大. (B) 變小.

(C) 不變. (D) 無法確定.

解析:以容器、木球和鐵球組成的系統為研究對象,分析過程同變式1,選(B).

點評:與常規方法相比,最小勢能原理無需對木球、鐵球的受力和運動進行分析,更不用牛頓運動定律求解.無論臺秤上的系統組成怎樣,只要細線斷了,它將向一個更穩定的狀態變化,重心降低,重力勢能就會減小,處于失重狀態,臺秤示數變小.

2.1.2 彈簧模型的速度

圖8

例3.如圖8所示,在足夠大的光滑水平面上放有兩質量相等的物塊

A

和

B

,其中

A

物塊連接一個輕彈簧并處于靜止狀態,

B

物塊以初速度

v

0

向著

A

物塊運動.當物塊與彈簧作用時,兩物塊在同一條直線上運動.圖9中關于

B

物塊與彈簧作用過程中,兩物塊的

v

-

t

圖像正確的是

圖9

解析:以彈簧和兩物塊組成的系統為研究對象,系統的彈性勢能發生改變.根據最小勢能原理,當彈性勢能最小,即初、末兩時刻,物塊應處于平衡狀態,加速度為0,故選(D).

點評:與常規的動量守恒、受力與運動分析相比,最小勢能原理無需關注中間過程,只要利用初末兩時刻勢能最小、受力平衡的特點,便能快速解答.

圖10

例4.如圖10所示,一輕質彈簧豎直放置,下端固定在水平面上,上端處于a位置,當一重球放在彈簧上端靜止時,彈簧上端被壓縮到b位置.現將重球(視為質點)從高于a位置的c位置沿彈簧中軸線自由下落,彈簧被重球壓縮到最低位置d.則重球速度最大位置為

(A)a點. (B)b點.

(C)c點. (D)d點.

解析:以彈簧和重球組成的系統為研究對象,重球的重力勢能和彈簧的彈性勢能都在發生改變,系統的勢能由兩部分組成.當重球速度最大時,即動能最大,系統的勢能最小,應該發生在受力平衡位置,故選(B).

點評:最小勢能原理不僅適用于單個勢能發生改變的情況,當各個勢能均發生變化時,只要討論各勢能和最小時,系統同樣處于穩定平衡狀態.

2.2 電學中的應用

2.2.1 電勢最低點的判斷

圖11

例5.如圖11所示,A、B兩點相距為L.在A、B兩點分別固定兩個不等量的點電荷QA、QB,現以L為直徑畫出半圓弧,試求此圓弧上電勢最低點的位置.

圖12

解析:假設有一正試探電荷q能在半圓弧上運動,圓弧上電勢最低點P點,即為試探電荷的電勢能EP最小的位置,由最小勢能原理可知,試探電荷q在P點應處于穩定平衡狀態,故所受庫侖合力FP必無切向分量(作用線過圓心O),如圖12所示.設PA與AB的夾角為θ,則

(6)

由庫侖定律有

(7)

點評:此題可以由點電荷的電勢公式,結合電勢疊加原理求極值解答,這樣的解法數學味太重、求解過程復雜,且點電荷電勢公式明顯超出高中課本要求.利用最小勢能原理,將電勢的討論轉化為平衡位置的確定,不僅大大簡化了解題過程,還能訓練學生科學思維.

2.2.2 復合場相關問題

圖13

例6.半徑為r的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內,環上套有一質量為m、帶正電的珠子,空間存在水平向右的勻強電場,如圖13所示.珠子所受靜電力是其重力的3/4倍.將珠子從環上最低點A處靜止釋放,求珠子在什么位置速度達到最大?

圖14

點評:重力場與電場的復合場問題一般用等效思想處理,但最小勢能原理的應用同樣快速有效.

2.3 熱學中的應用

2.3.1 微觀分子世界——分子力與分子勢能

例7.如圖15所示4幅圖中,能正確反映分子間作用力f和分子勢能Ep隨分子間距離r變化關系的圖線是

圖15

解析:根據最小勢能原理,當分子勢能Ep最小時,分子處于穩定平衡狀態,所受分子力f為零,故選(B).

點評:選修3-3熱學內容不在浙江物理高考范圍內,但只要利用最小勢能原理,也能快速處理分子力與分子勢能的圖像問題.

2.3.2 宏觀熱學現象——表面能

由于微觀分子間的作用力,液體表面在宏觀上受到表面張力的作用.空間站內處于完全失重的環境,液滴具有表面張力的勢能(表面能)正比于表面積,所以最小表面能要求表面積最小,于是液滴成為球形.如果液滴還受到重力的作用,最小重力勢能又要求重心盡量低,這與表面積最小是矛盾的,因而兩者會達到一個平衡,如水平表面上液滴的形狀會成扁球形,甚至在重力占主導地位時,液滴會成圓餅狀.

綜上所述,最小勢能原理不僅可以用于力學、電學和熱學,同時還能用于微觀世界和宏觀現象;不僅在彈簧模型的速度、復合場問題中提供了快捷的新方法,同時也為臺秤示數問題、電勢最低點的判斷和浙江考生未學的熱學相關知識開辟了有效的新思路.