小球重力瞬時功率取極值時相應位置的探討

鄒兆貴

(湖南省長沙市長郡濱江中學,湖南 長沙 410013)

在高中物理當中,功與能是非常重要的概念．在對功的學習當中,經常會遇到求物體瞬時功率的問題．往往涉及物體受到的某個力的瞬時功率如何變化,在何位置取極值,以及極值是多少等問題,既考查了學生對瞬時功率公式本身的掌握與應用,也考查了學生的定性、定量分析物理過程的能力,同時也為后續動能定理的學習打下扎實的基礎．以下就小球重力瞬時功率如何變化及取極值時相應位置進行探討.

1 問題

如圖1，圖2所示,質量為m的小球從水平位置A靜止釋放,小球從水平位置A運動到最低點B點的過程中,重力的瞬時功率如何變化?在何處最大?(忽略空氣阻力及小球的體積)

圖1 “球繩模型” 圖2 “球繩模型”過程分析圖

2 問題分析與解答

2.1 定性分析

設繩長為L,當小球運動到C點時,速度為vC,距離A豎直高度差為h,繩子與水平方向的夾角為θ,運動到最低點B點時,速度為vB.

由題易知vA=0，則PA=0 W,又

而PC=mgvCcosθ>0 W，

故從A到B的過程中,重力的瞬時功率從0先增大,后減小到0．

2.2 定量分析

當小球運動到C點時,由幾何關系知

h=Lsinθ.

(1)

由動能定理得

(2)

解得

(3)

把(3)代入PC=mgvCcosθ得

(4)

下面通過不同的方法來求PC的最大值及對應的位置．

2.2.1 均值不等式法[1-2]

f4(θ)=sin2θcos4θ=sin2θcos2θcos2θ=

(5)

2.2.2 導數法[3-4]

則g′(θ)=cosθ(3cos2θ-2).

令g′(θ)=0得到

由數學易知

故g(θ)逐漸增大，PG逐漸增大.

故g(θ)逐漸減小，PG逐漸減小.

3 進一步探討

如果與小球連接的物體不是繩子,而是光滑半圓槽,同時槽對小球的彈力對小球做功,此時小球重力的瞬時功率變化情況又會如何?

3.1 新問題

圖3 “球槽模型”圖

如圖3所示，質量為M的光滑半圓槽靜止置于光滑水平地面上(半圓槽不固定),一質量為m的小球位于槽內,從與圓心O等高的水平位置靜止釋放,求小球從靜止釋放到運動到槽內最低點的過程中,小球重力瞬時功率如何變化?最大值在何處?(小球的大小可以忽略)

3.2 理論分析與解答[7-8]

圖4 “球槽模型”過程分析圖

如圖4所示．設槽的半徑為R,小球與圓心O的連線與水平方向的夾角為θ時,小球速度為v1,水平速度大小為v1x,豎直速度大小為v1y,槽的水平速度為v2,小球相對于槽的速度為v3．

對M、m系統,由機械能守恒定律得

(6)

由系統水平動量守恒可得

mv1x=Mv2.

(7)

由幾何關系易知

v1x+v2=v1ytanθ.

(8)

對m:

v1x2+v1y2=v12.

(9)

由系統機械能守恒定律易知,小球下滑過程中,槽對小球的彈力對小球做負功．

小球的瞬時功率為

PGm=mgv1y=

(10)

化簡(10)式得

(11)

再令

A=k(k+1)+(k+1)2cot2θ.

(12)

把(12)式代入(11)式并對h(θ)求導得

令cos2θ=t,t∈[0,1]代入上式得

圖5 k取不同值時，h(θ)隨θ變化圖像

圖6 h′(θ)=0對應的cos及cos2(θ)隨k變化圖像

4 結束語

兩種模型雖有區別,但也有共同點．通過理論分析與數值計算同時借助軟件Origin繪圖,直觀的顯示了小球重力的瞬時功率變化規律及極值位置．

值得注意的地方:當k很小時,槽相對小球質量很輕,有可能會翻轉,因為涉及到轉動的問題不在高考范圍之內,且更為復雜,本文不再予以討論．