輪轂打磨5-DOF機械臂動力學建模與驅動參數預估

榮 譽 劉雙勇 王洪斌 韓 勇

1.燕山大學電氣工程學院, 秦皇島，0660042.河北科技師范學院 機電工程學院,秦皇島，0660043.中信戴卡股份有限公司, 秦皇島，066004

0 引言

金屬材料表面打磨是機器人的主要應用領域之一[1-2]。鋁合金輪轂是大規模生產型金屬制品的典型代表[3-4]，中國作為世界最大的汽車鋁合金輪轂生產國，在鋁合金輪轂制造的整個工藝過程中，壓鑄、鍛造、機加、噴涂等工序均實現了無人化和智能化加工，但是，鋁合金輪轂的打磨、拋光目前還是以人工加工為主[5-6]。有學者對機器打磨、拋光鋁合金輪轂展開了研究，已有的鋁合金輪轂打磨、拋光方法主要有兩種：一種是采用通用工業機器人配手腕動力主軸的方式[7]，這種方式通過在普通工業機器人手腕連接的主軸帶動打磨葉輪旋轉，實現對輪轂表面的打磨，但是，因為普通工業機器人一般采用串聯結構，其自身的承載能力和剛度較差，而輪轂打磨的加工反作用力非常大，所以只有負載超過200 kg的大型工業機器人，才能滿足輪轂打磨的力學要求，這導致此類系統建設成本非常高，而且效率非常低；另一種是采用專門設計的類似機床結構的打磨、拋光專機的方式[8-9]，這種方式一般單獨設計一種5軸聯動機床，通過機床的電主軸帶動打磨葉輪做伺服運動，實現對輪轂的打磨、拋光，但是，因為機床的數控系統需要單獨開發，采用這種方式進行加工時，如何對電主軸進行軌跡規劃編程與實現曲面貼合運動成為技術瓶頸，而且此類機床的體積非常龐大，不適合放在物流化、全智能的已有輪轂生產線。因此有必要設計一種專用的鋁合金輪轂打磨機械臂，使其具有高負載、高沖擊、高精度、復雜曲面貼合能力。

鋁合金輪轂打磨需要工業機器人具有較高的剛度和承載能力，同時還需要具有較好的曲面貼合能力，這些都符合并聯結構機械臂的特點。并聯機構機械手方面的成果有TriVariant 機器人系列[10-11]，李研彪[12]、金振林等[13]研制的混聯構型機械臂，秦利[14]研制的空間機械臂等。通過對機器人進行動力學建模，可以有效獲得其控制函數，并對其進行驅動參數預估。針對并聯機構的動力學分析方法有Lagrange方程[15]、Newton-Euler方程[16]、虛功原理法[17]、Kane方程[18]等。

本文設計了專用于輪轂打磨的5-DOF并聯機械臂，可以同時實現垂直和水平兩種加工模式。

1 機械臂構型

本文提出的輪轂打磨5-DOF并聯機械臂如圖1所示，采用2-UPS+UPU構型，該構型包含3個分支，其中，1個是UPU分支，2個是UPS分支。UPU分支的兩端均通過萬向副連接到固定平臺、運動平臺；UPS分支通過萬向副連接到固定平臺，通過球面副連接到運動平臺。其具體的運動副布局結構如圖2所示。

1.機架 2.萬向副電機 3.固定平臺萬向副 4.絲杠 5.絲杠螺母 6.絲杠電機 7.套筒 8.伸縮桿 9.運動平臺萬向副 10.球面副 11.運動平臺 12.電主軸 13.打磨葉輪 14.輪轂 15.夾具圖1 機械臂結構圖Fig.1 Structure diagram of manipulator arm

圖2 機械臂2-UPS+UPU機構簡圖Fig.2 Sketch map of manipulator arm’s 2-UPS+UPU mechanism

采用約束螺旋法分析可知[19]，該機構的UPU分支對運動平臺施加1個約束力偶，其余2個UPS分支對運動平臺無約束，故其運動平臺有5個自由度(2個轉動、3個平移)。確定每個分支的移動副為機械臂的移動驅動副、每個UPS分支的萬向副靠近固定平臺轉軸為轉動驅動副。

2 2-UPS+UPU機構的運動學分析

2.1 構型及坐標系的建立

將機械臂2-UPS+UPU機構進行參數化，從而建立通用模型：b=300 mm，a=90 mm，li∈(600,1 000)mm，i=1,2,3，h=800 mm。

在圖2中，Bi(i=1,2,3)代表各分支與固定平臺連接點，A1代表UPU分支與運動平臺連接點，Ai(i=2,3)代表2個UPS分支與運動平臺連接點，各連接點布局如圖2所示。定義固定平臺的結構參數A1A2=A1A3=a，運動平臺的結構參數B1B2=B1B3=b，各支鏈的長度AiBi=li(i=1,2,3)。Ci(i=1,2,3)代表各分支的移動副套筒及附屬部件質量中心，Ui(i=1,2,3)代表各分支的移動副伸縮桿及附屬部件質量中心，U0代表運動平臺的質量中心。

在固定平臺定義坐標系B1x1y1z1,x1軸與對應萬向副靠近固定平臺的轉軸共線；z1軸與固定平臺平面垂直；y1軸符合右手法則。以Bi(i=2,3)為原點定義局部基坐標系Bixiyizi(i=2,3),xi軸與對應萬向副靠近固定平臺的轉軸共線；zi軸與z1軸共線；yi軸符合右手法則。以A1為原點定義運動平臺坐標系A1hew,其中w軸與運動平臺的平面垂直；h軸與直線A1A2共線；e軸符合右手法則。在各分支定義本體運動坐標系Bihieiwi(i=1,2,3)，其中wi軸與分支i的軸線共線；ei軸與其所在分支萬向副遠離固定平臺的轉軸共線；hi軸滿足右手定則。

通過坐標變換可知，坐標系Bihieiwi(i=1,2,3)在坐標系Bixiyizi(i=1,2,3)中的姿態由兩次旋轉變換得到：第一次，繞xi軸旋轉ψi；第二次，繞ei軸旋轉θi。因此，ψi(i=2,3)就是機械臂的轉動驅動輸入角。為了方便建模，將A1確定為運動平臺參考點。

2.2 運動學傳遞方程推導

在機械臂的基坐標系B1x1y1z1中構建封閉的矢量運動鏈：

(1)

式中，li、wi(i=1,2,3)分別為分支i的長度和主矢量；b2為B1B2對應矢量；b3為B1B3對應矢量；a2為A1A2對應矢量；a3為A1A3對應矢量。

計算式(1)關于時間t的導數，得

(2)

由wi·(ωi×wi)=0，將式(2)點乘wi，可得

(3)

(4)

簡寫為

(5)

其中，Jv∈R3×6。

按照角速度的運算規律，可得

(6)

式中，xi、ei分別為軸xi和軸ei在基坐標系B1x1y1z1中的主矢量。

將式(6)叉乘ei，可得

(7)

i=2,3

(8)

簡寫為

(9)

綜合式(5)、式(9)可得機構速度映射關系為

(10)

其中，J為雅可比矩陣，且J∈R5×6；μ為驅動速度。

可以通過推導構造R5×5雅可比矩陣，機械臂的運動平臺在基坐標系Bx1y1z1中角速度ω=[ωxωyωz]T可以簡化為ω′=[ωxωy]T，建立變換矩陣W，可以使V′=[vT(ω′)T]T與V=[vTωT]T的關系變為

V′=WV

(11)

W=[E5×5O5×1]

將式(11)代入式(10)，可得

(12)

2.3 支鏈角速度描述

ω1=Jω1[vT(ω′)T]T

(13)

ωi=Jωi[vT(ω′)T]T

(14)

其中，E為三階單位矩陣。

2.4 部件質心運動學描述

機械臂的各分支移動副套筒及附屬部件的質心的速度可以通過萬向副的轉換求得

vi=liwi×ωi

(15)

式中，lCi為點Bi與點Ci之間距離。

機械臂的各分支移動副伸縮桿及附屬部件的質心Ui(i=1,2,3)的矢量pUi為

(16)

式中，lUi為點Ai至點Ui的距離。

對式(16)關于時間求導，可得

vUi=JvUi[vT(ω′)T]T

(17)

機構的運動平臺質量中心U0在運動坐標系A1hew中的描述為pU0，運動平臺質量中心的速度為

vU0=JvU0[vT(ω′)T]T

(18)

3 機械臂的動力學建模

3.1 廣義力的定義

構造出運動平臺參考點B1在基坐標系B1x1y1z1中的廣義坐標p=[p1p2p3p4

(19)

Q=(J′)Tτ

(20)

(21)

Jω0=[O2×3E2×2]

3.2 部件動能和勢能描述

機械臂的部件可分成4種：各分支移動副伸縮桿；各分支移動副套筒；各分支絲杠及電機轉子；運動平臺。

各分支移動副伸縮桿在基坐標系B1x1y1z1中的動能方程為

(22)

式中，mUi為各分支移動副伸縮桿質量；IUi為各分支移動副伸縮桿相對于質心的轉動慣量；vUi為各分支移動副伸縮桿的質心速度。

各分支移動副套筒在基坐標系B1x1y1z1中的動能方程為

(23)

式中，IBi為各分支移動副套筒繞萬向副轉軸的轉動慣量。

各分支絲杠及電機轉子在基坐標系B1x1y1z1中的動能方程為

(24)

式中，ISBi為各分支絲杠及電機轉子繞萬向副轉軸的轉動慣量；ISi為各分支絲杠及電機轉子繞其自身軸線的轉動慣量；ωSi為各分支絲杠及電機轉子繞其自身軸線的角速度。

運動平臺在基坐標系B1x1y1z1中的動能方程為

(25)

式中，mU0為運動平臺的質量；IU0為運動平臺繞過其質心的轉動慣量；vU0運動平臺的質心速度。

可以得到機械臂的總動能為

(26)

將式(22)～式(25)代入式(26)可得

(27)

將式(13)、式(14)、式(17)～式(18)代入式(27)可得

(28)

式中，I為機構的等效廣義轉動慣量。

機械臂的系統的總勢能為

(29)

式中，mi、qi分別為各分支移動副套筒及附屬部件的質量和質心位置；mUi、qUi分別為各分支移動副伸縮桿及附屬部件的質量和質心位置；mSi、qSi分別為各分支絲杠及電機轉子的質量和質心位置；qU0為運動平臺的質心位置。

3.3 機械臂的動力學模型

為機械臂構造拉格朗日函數：

L=T-V

(30)

式中，T為機械臂的動能；V為機械臂的勢能。

根據拉格朗日方程可知

(31)

式中，pk為廣義坐標；Fk為廣義力。

將式(30)代入式(31)，可得

(32)

式(32)可以整理為

(33)

(34)

(35)

(36)

將式(36)整理成矢量表達，可得

(37)

H1=[H11H12H13H14H15]T

M1=[M11M12M13M14M15]T

K1=[K11K12K13K14K15]T

(38)

將式(38)整理成矢量表達，可得

(39)

M2=[M21M22M23M24M25]T

K2=[K21K22K23K24K25]T

(40)

整理式(40)可得

(41)

Kg=[Kg1Kg2Kg3Kg4Kg5]T

將式(37)、式(39)、式(41)代入式(35)，可得

(42)

H=H1M=M1-M2K=K1-K2+Kg

式中，H為機械臂的轉動慣量；M為機械臂的中間系數；K為機械臂的引力項。

將式(42)代入式(20)，可得

(43)

τ=[τ1τ2τ3τ4τ5]T

其中，τ為機械臂的驅動力矩，G=((J′)T)-1。式(43)就是機械臂的逆動力學方程。

4 機械臂的伺服電機參數預估

4.1 參數預估模型

輪轂打磨機械臂的伺服電機工作峰值轉速、力矩主要出現在以下幾種工況：①機械臂靜止并以最大加速度啟動；②機械臂從最大速度狀態進入急停；③在對輪轂打磨過程中沿曲線、曲面軌跡加工時的急轉運動。在上述3種工況以外，機械臂是工作于恒力曲面貼合加工狀態，此時機械臂是受到穩定的沿工件表面法向的加工力。

為了使分析條件與真實輪轂打磨一致，這里通過離線加工軌跡、力的規劃軟件Roboguide對輪轂的表面進行打磨加工軌跡、力的規劃，生成輪轂表面的打磨加工軌跡曲線，如圖3所示，其中，打磨軌跡曲線始終貼合輪轂表面的曲面，且加工軌跡的刀具z軸方向始終保持沿輪轂表面的法向，并保持沿此法向的加工力恒定。

1.打磨進入點 2.打磨結束點 3.打磨曲線4.輪轂 5.夾具圖3 離線打磨軌跡規劃圖Fig.3 Trajectory planning diagram of off-line polish

通過Roboguide把圖3中的打磨加工軌跡曲線轉換為刀具軌跡函數，為了便于分析，這里把函數沿x軸、y軸兩個方向分別生成，從而得到打磨加工軌跡函數vx(t)、vy(t)。同時，通過Roboguide把圖3中的打磨加工的輪轂表面法向恒力在基坐標系中的函數也沿x軸、y軸兩個方向分別生成，從而得到打磨加工力函數fx(t)、fy(t)。這樣，就可以通過上述打磨加工軌跡、力的規劃函數，進行伺服電機峰值參數預估。

4.2 伺服電機驅動轉速分析

將式(12)的速度雅可比矩陣用向量描述:

(44)

式中，Jli為各分支移動驅動副速度向量，Jli∈R1×5；Jψi為分支i的萬向副轉動驅動角速度向量，Jψi∈R1×5。

(45)

將式(44)代入式(45)，得到驅動電機與機械臂運動平臺參考點A1的關系：

(46)

把軌跡vx(t)、vy(t)代入式(46)可得各驅動電機的轉速：

(47)

4.3 伺服電機驅動力矩分析

確定機械臂的力矩傳遞比是λli、λψi，各驅動電機輸出扭矩εli、εψi(Nm)與機械臂的各分支移動驅動力及轉動驅動力矩τli(N)、τψi(Nm)之間的函數為

(48)

將式(48)代入式(43)，可得

(49)

ε=[εl1εl2εl3εψ2εψ3]T

根據文獻[10-11]，機械臂的電機驅動力矩最大值函數為

(50)

通過式(50)可以獲得機構用以驅動打磨葉輪沿加工軌跡運動時(不考慮打磨加工表面法向恒力)，3個移動驅動副伺服電機的最大驅動力矩εl1max=3.1 Nm，εl2max=3.7 Nm，εl3max=4.3 Nm；2個轉動驅動副伺服電機的最大驅動力矩εψ2max=5.1 Nm，εψ3max=4.7 Nm。

僅考慮機構運動過程的電機驅動力矩是不全面的，還需要考慮打磨葉輪與輪轂之間沿法向的恒定加工力對機構驅動電機力矩的影響。將打磨加工力函數fx(t)、fy(t)代入式(43)，就可以通過機構的動力學方程計算出打磨加工過程中每個驅動伺服電機的驅動力矩數值，從而間接計算出打磨加工過程中為抵消打磨葉輪法向恒定力產生的3個分支移動驅動電機的最大驅動力矩εl1max=0.5 Nm，εl2max=0.7 Nm，εl3max=0.9 Nm；2個轉動驅動副伺服電機的最大驅動力矩εψ2max=1.1 Nm，εψ3max=0.7 Nm。

基于上述計算結果，將用于實現打磨葉輪運動和用于抵消打磨表面法向的力的2部分驅動力矩進行累加，可以得到3個移動驅動副伺服電機的最大驅動總力矩εl1max=3.6 Nm，εl2max=4.4 Nm，εl3max=5.2 Nm；2個轉動驅動副伺服電機的最大驅動總力矩εψ2max=6.2 Nm，εψ3max=5.4 Nm，伺服電機驅動力矩最大值為6.2 Nm。

4.4 算例驗證

為了驗證伺服電機峰值預估模型的正確性，定義一組結構參數算例，見表1，通過算例驗證預估值。

表1 輪轂打磨機械臂的算例參數

為了使機械臂在機構緊湊的同時具有較好的剛度，各主要構件采用鋁合金材質，關鍵運動副的傳動軸等高載荷部件采用中碳鋼制造。因為沿x軸加工時產生的轉速與力矩均大于其沿y軸加工時對應值，所以這里只分析其沿x軸加工時即軌跡函數vx(t)的電機驅動函數。

用工程計算軟件對式(47)求解，可以獲得本算例的伺服電機最大驅動轉速值分別為nl1max=17.1 r/s，nl2max=17.8 r/s，nl3max=18.7 r/s，nψ2max=14.3 r/s,nψ3max=13.1 r/s。可見，這些數值均小于本文的理論預估峰值。

用工程計算軟件對式(49)求解，并把打磨加工力函數fx(t)、fy(t)代入式(43)，可以計算出本算例的3個移動驅動副伺服電機的最大驅動力矩的總和εl1max=2.73 Nm,εl2max=3.31 Nm,εl3max=4.08 Nm；2個轉動驅動副伺服電機的最大驅動力矩總和εψ2max=4.73 Nm,εψ3max=3.71 Nm。這些數值均小于本文的理論預估峰值。

直接采用算例的峰值轉速和力矩計算出伺服電機的功率為518 W，通過增加機械損耗因素，確定伺服電機的功率為700 W。

5 結論

(1)本文提出了一種用于輪轂打磨的5-DOF并聯機械臂，采用多剛體系統的Lagrange方程推導出2-UPS+UPU機構的動力學方程，得到了機械臂的驅動輸入量與運動平臺輸出量之間的動力學傳遞關系。

(2) 以機械臂的動力學方程為基礎，推導出5個關節驅動電機驅動轉速、力矩最大值計算模型，計算出各伺服電機轉速最大值為25.1 r/s，力矩最大值為6.2 Nm。

(3) 選取一組具體機械臂的結構參數作為算例，計算出此算例的最大理論轉速為18.7 r/s，最大理論力矩為4.73 mNm，確定伺服電機的選型功率為700 W。

[1] 黃田, 陳闖, 王輝. 一種新型并聯動力頭動力學參數辨識方法研究[J]. 機械工程學報, 2013, 49(19): 31-39.

HUANG Tian, CHEN Chuang, WANG Hui. Identification of Dynamic Parameters of a Novel 3-DOF Spindle Head[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(19): 31-39.

[2] 孫一蘭, 柳洪義, 王品. 導彈彈體內壁打磨機器人及其運動軌跡規劃[J]. 中國機械工程, 2009, 20(7): 838-843.

SUN Yilan, LIU Hongyi, WANG Pin. Design of Missile Inner-wall Grinding Robot and Its Trajectory Planning[J]. China Mechanical Engineering, 2009, 20(7): 838-843.

[3] 劉少鳳, 孫宗禹. 全球制造策略[J]. 中國機械工程, 2001, 12(1): 114-119.

LIU Shaofeng, SUN Zongyu. Global Manufacturing Strategy[J]. China Mechanical Engineering, 2001, 12(1): 114-119.

[4] 張治民, 張星, 王強. 重型車輛傳動行動構件輕量化設計研究[J]. 機械工程學報, 2012, 48(18): 67-71.

ZHANG Zhimin, ZHANG Xing, WANG Qiang. Research on Lightweight Design of Heavy Vehicle Transmission and Action Components[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(18): 67-71.

[5] 尹咸. 整體螺旋槳機器人砂帶磨削加工工藝技術及試驗研究[D]. 重慶: 重慶大學, 2015.

YIN Xian. Research on Technology and Control Scheme of Robotic Abrasive Belt Polishing for Integrated Propeller[D]. Chongqing: Chongqing University, 2015.

[6] 劉星. 鋁合金輪轂局部難加工表面砂帶拋磨方法研究[D]. 武漢: 華中科技大學, 2009.

LIU Xing. Research on a Method of Belt-polishing for Partial Hard-to-polish Surface of Al-alloy Wheel[D]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology, 2009.

[7] 楊仲升, 黃云, 鄒萊. 鋁合金輪轂機器人光整加工控制技術研究[J]. 中國機械工程, 2016, 27(14): 1857-1862.

YANG Zhongsheng, HUANG Yun, ZOU Lai. Analysis of Gas Flow Mechanism and Pressure Characteristics between Plates in Micro Scale[J]. China Mechanical Engineering, 2016, 27(14): 1857-1862.

[8] 趙菀. 汽車輪轂數控拋光機床的設計與研究[D]. 武漢: 華中科技大學, 2014.

ZHAO Yuan. Research and Design for NC Polishing Machine of Vehicle Wheels[D]. Wuhan: Huazhong University of Science and Technology, 2014.

[9] 王旭. 五軸數控拋光機CAM技術研究[D]. 秦皇島: 燕山大學, 2011.

WANG Xu. Researching of Five-axis NC Polishing Maching CAM[D]. Qinhuangdao: Yanshan University, 2011.

[10] 黃田, 李曚, 吳孟麗. 可重構PKM模塊的選型原則——理論與實踐[J]. 機械工程學報, 2005, 41(8): 36-41.

HUANG Tian, LI Meng, WU Mengli. Criteria for Conceptual Design of Reconfigurable PKM Modules—Theory and Application[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2005, 41(8): 36-41.

[11] 黃田, 李亞, 李思維. 一種三自由度并聯機構幾何誤差建模、靈敏度分析及裝配工藝設計[J]. 中國科學, 2002, 32(5): 628-635.

HUANG Tian, LI Ya, LI Siwei. Criteria for Conceptual Design of Reconfigurable PKM Modules Theory and Application[J]. Science China Press, 2002, 32(5): 628-635.

[12] 李研彪. 新型6-DOF串并混聯擬人機械臂的性能分析與設計[D]. 秦皇島: 燕山大學, 2009.

LI Yanbiao. Analysis and Design of a Novel 6-DOF Hybrid Mechanical Arm[D]. Qinhuangdao: Yanshan University, 2009.

[13] 金振林, 曹舜, 高峰. 新型機器人肩關節及其運動學分析[J]. 中國機械工程, 2009, 20(14): 1639-1642.

JIN Zhenlin, CAO Shun, GAO Feng. Arc Spline Tool Path Generation for Triangular Mesh Surface Machining[J]. China Mechanical Engineering, 2009, 20(14): 1639-1642.

[14] 秦利. 考慮重力效應的空間機器人系統建模與控制研究[D]. 秦皇島: 燕山大學, 2014.

QIN Li. Research on Modeling and Control for Space Robot System with Gravity Effect Consideration[D]. Qinhuangdao: Yanshan University, 2014.

[15] 王躍靈, 金振林, 李研彪. 球面3-RRR并聯機構動力學建模與魯棒-自適應迭代學習控制[J].機械工程學報, 2010,46(1): 68-73.

WANG Yueling, JIN Zhenlin, LI Yanbiao. Dynamic Modeling and Robust-adaptive Iterative Learning Control of 3-RRR Spherical Parallel Mechanism [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2010, 46(1): 68-73.

[16] STAMPER R E. A Three Degree of Freedom Parallel Manipulator with Only Translational Degrees of Freedom [D]. Maryland: The University of Maryland, 1997: 83-97.

[17] TSAI L W. Solving the Inverse Dynamics of a Stewart-Gough Manipulator by the Principle of Virtual Work [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2000, 122(1): 3-9.

[18] SAMAK S M, GUPTA K C. Parametric Uncertainty on Manipulators Dynamics [J]. Mechanism and Machine Theory, 1998, 33(7): 945-956.

[19] 黃真, 趙永生, 趙鐵石. 高等空間機構學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006:277-283.

HUANG Zhen, ZHAO Yongsheng, ZHAO Tieshi. Advanced Spatial Mechanism [M]. Beijing: Higher Education Press, 2006: 277-283.

[20] 王振發. 分析力學[M].北京:科學出版社, 2002: 46-47.

WANG Zhenfa. Analytical Mechanics [M]. Beijing: Science Press, 2002: 46-47.