高維非正態總體協方差陣檢驗的檢驗統計量

閆梓心，劉忠穎，王 嬌，張兆元

(1.長春師范大學數學學院，吉林長春 130032；2.長春師范大學工程學院，吉林長春 130032)

我們考慮單樣本問題，即令X1,X2,…,XN是獨立的p維隨機向量，每個Xi能被表示為

(1)

其中，μ是p維常數向量，∑為p×p的正定陣．并且隨機向量Zi=(Zi1,Zi2,…,Zip)′的均值向量為0p×1，協方差陣為p階單位陣I，i=1,2,…,N.在對大維數據進行統計檢驗時，檢驗假設

H0:∑=Iv.s.H1:∑≠I.

被很多研究者關注[1-6]．文獻[1,4-6]在建立檢驗統計量時對tr(∑-I)2進行了估計．本文給出tr(∑-I)2的一個無偏估計量，證明它是相合的，并借助模擬實驗說明我們提出的估計量的優良性.

1 tr(∑-I)2的估計量

在對tr(∑-I)2進行估計時，因為tr(∑-I)2=tr(∑2)-2tr(∑)+p，需要給出tr(∑2)和tr(∑)的估計量.眾所周知，協方差陣的一個優良的估計量是樣本方差陣

[指導教師]劉忠穎(1977- )，女，講師，碩士，從事多元統計分析研究。

定理1 對于模型(1)，tr(∑-I)2的無偏估計量為

為了說明相合性，我們沿用文獻[8]提出的漸近框架和假設：

當N、P→時，

A1:N/p→c∈(0,)，

A2:tr(∑2)/p→a∈(0,)，

A4:‖∑°∑‖<,‖∑‖<，

證明 由文獻[8]中定理2，可以得到，在假設A1、A2和A3成立下，

記Zi=(Zi1,Zi2,…,Zip)′，∑=(σij)p×p.則

在下面的推導中將一直采用樣本方差的這種表示方式.顯然可以得到

則

其中，

同理，可以得到

則

及

在假設A2、A4和A5下，當N,p→時，D(trS/p)→0.由切比雪夫不等式，可得到

定理1和定理2說明了統計量T1是無偏的、相合的.

2 模擬與應用

利用Monte Carlo模擬說明我們提出的估計量的功效.

在模擬中，給出均值向量是零向量以及協方差矩陣∑=(0.2|i-j|).取樣本量和隨機向量維數為N,p=50,100,150,200，循環次數為5000.關于分布，取以下三種情況：

①Zi=(Zi1,Zi2,…,Zip)′中的Zi1,Zi2,…,Zip是獨立同分布的，都服從標準正態分布N(0,1).

③令Zij=(ωij-8)/4，其中ωi1,ωi2,…,ωip是獨立同分布的，都服從自由度是8的χ2分布.

在每一種情形下，計算f(∑)=tr(∑-I)2/p、T1/p、f(∑)與T1/p的標準誤e1.一般容易想到的tr(∑-I)2的估計量是T2=tr(S-I)2，為了比較，我們還計算了T2/p、f(∑)與T2/p的標準誤e2.

表1 基于①計算f(∑)、T1/p、f(∑)與T1/p的標準誤e1、T2/p、f(∑)與T2/p的標準誤e2

表2 基于②計算f(∑)、T1/p、f(∑)與T1/p的標準誤e1、T2/p、f(∑)與T2/p的標準誤e2

表3 基于③計算f(∑)、T1/p、f(∑)與T1/p的標準誤e1、T2/p、f(∑)與T2/p的標準誤e2

表1中數據是來自①的分布，表2中數據是來自②的分布，表3中數據是來自③的分布.從表1、表2、表3中的數據可以看出：無論是樣本量和維數的大小關系如何(只要它們的比值收斂)，T1/p的值都十分接近tr(∑-I)2/p的值，標準誤非常小，而T2/p的值和標準誤都不好，這充分地說明我們提出的估計量比T2要好.

我們收集了20個在校大學生的通話數據如表4所示.

表4 在校大學生的通話數據

將表4中數據都取了常用對數，然后利用MATLAB軟件編程計算了這組數據的總體協方差矩陣與單位陣間的tr(∑-I)2/p的估計值為0.7910.因為我們提出的估計量的良好性質，可以認為這個數字是很接近真值的.

3 結語

本文給出了tr(∑-I)2的一個無偏及相合估計量，這個估計量不受樣本量和維數的大小關系的限制(只要它們的比值收斂)，同時對總體分布也沒有限制，故它可以被用在多種多元分布中.而且利用Monte Carlo模擬給出三個表格，這幾個表格中的數據說明了本文提出的估計量的值很接近真值.運用此估計量，對所收集的在校大學生通話數據的總體協方差陣函數進行了估計.

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