多項式系數Pf,γ,ξ相等的條件

齊 琳，許靜波

(吉林師范大學數學學院，吉林長春 130103)

多項式系數Pf,γ,ξ在什么條件下相等，這是很值得關注和研究的問題.S Koike[1]已經對此進行研究，并給出多項式系數Pf,γ,ξ相等的命題.J P Henry[2]對實解析函數的bi-Lipschitz不變量進行研究.S Koike[3-4]對blow-analytic及其不變量進行了研究.N Kuiper[5]，T-C Kuo[6]對C1-等價與解析函數芽進行了討論.本文對同胚條件做一個改變，并證明改變之后的命題仍然成立.

1 預備知識

定義2 設映射芽h:(E,0)→(F,0)，若存在L>0及E中包含0的開子集U，使得對任意u,v∈U均有‖h(u)-h(v)‖≤L‖u-v‖，則稱h為Lipschitz映射芽.

定義3 設映射h:(E,0)→(F,0)，若h-1:(F,0)→(E,0)存在，且存在L1,L2>0及E中包含0的開子集U，使得對任意u,v∈U均有L1‖u-v‖≤‖h(u)-h(v)‖≤L2‖u-v‖，則稱h為bi-Lipschitz映射芽.

定義4ordγf是非零系數的最小指數，系數Pf,γ,ξ(z)是關于z的一個多項式函數，那么對于?ξ≥1，有f(λ(y)+zyξ,y)=Pf,γ,ξ(z)yordγf(ξ)+…，f為關于γ的序函數，即ordγf:[1,+)→R.

證明 由bi-Lipschitz性質，在0∈R2的(x,y)∈Hξ(γ;M)，

最后，對于?ε>0，有0∈R2的一個鄰域Uε，使得對于(x,y)∈Hξ(γ;M)∩Uε，

g((z+α(y))yξ,y+β(y)) =((z+α(y))(y+β(y)-β(y))ξ,y+β(y))

引理3 設f,g:(Rn,0)→(R,0)是形式f(x)=fm(x)+fm+1(x)+…,fm≠0，g(x)=gk(x)+gk+1(x)+…,gk≠0的解析函數芽，假設f和g是C1-等價的，那么k=m，fm，gm是線性等價的.尤其，如果齊次多項式函數是C1-等價的，那么它們是線性等價的.

2 主要結果

證明 因為由C1-等價?bi-Lipschitz-等價，所以由C1-同胚?bi-Lipschitz同胚，即σ:(R2,0)→(R2,0)既是一個C1-同胚，又是一個bi-Lipschitz同胚.

如果ξ=1，那么ordγf(ξ)=degPf,γ,ξ=mult0f，這個結果遵從bi-Lipschitz不變量的階.

如果σ保持y-軸，則有形式σ(x,y)=(xφ(x,y),y+ψ(x,y))，其中φ(x,y)，ψ(x,y)是連續的，并且φ(0,0)=1，ψ(0,0)=0.

由引理2，α(y)=φ(cyξ,y)-1，β(y)=ψ(cyξ,y)，其中，c∈R是一個常數.那么，

f(cyξ,y)=g°σ(cyξ,y)，σ(cyξ,y)=(cyξφ(cyξ,y),y+ψ(cyξ,y))，

f(cyξ,y) =g(cyξφ(cyξ,y),y+ψ(cyξ,y))

=g(cyξ(α(y)+1),y+β(y))

3 結論

本文主要對多項式系數在什么情況下是相等的條件進行了探究，證明了當其中的一個條件即同胚條件改變后，多項式系數相等的結論仍成立.對于如果其它的條件改變時，結論是否成立，會在以后的探究中逐步進行考慮.

[1]S Koike,A Parusiński.Equivalence relations for two variable real analytic function germs[J].J Math.Soc.,2013,65(1):237-276.

[2]J P Henry, A Parusi’nski.Invariants of bi-Lipschitz equivalence of real analytic functions[J].Banach Center Publications,2004,65(5):67-75.

[3]S Koike,A Parusiński.Motivic-type invariants of blow-analytic equivalence[J].Ann Inst Fourier,2003,53(8): 2061-2104.

[4]S Koike,A Parusiński.Blow-analytic equivalence of two variable real analytic function germs[J].J Math.Soc.,2010,19(3):439-472.

[5]N Kuiper.C1-equivalence of functions near isolated critical points[J].R D Anderson ed.,Annales of Math. Studies 1972,69(24):199-218.

[6]T-C Kuo,Y C Lu.On analytic function germs of complex variables[J].Topology,1997,16(9):299-310.

[7]S Koike.On strong C0-equivalence of real analytic functions[J].J Math.Soc.,1993,45(3):313-320.