一類三階微分方程多點邊值問題兩個正解的存在性

高 揚

(大慶師范學院教師教育學院，黑龍江大慶 163712)

1 引言

常微分方程的邊值問題在物理學和力學等領域有著重要應用.一直以來，常微分方程邊值問題的正解存在性受到了廣泛關注，而其中關于三階m點邊值問題的多個正解存在性的研究并不多見[1-3].

本文考慮如下的一類三階常微分方程多點邊值問題:

(1.1)

應用錐拉伸與壓縮不動點定理可知，邊值問題(1.1)至少存在兩個正解.

為了方便起見，先做如下假設：

(H2)h:(0,1)→[0,+)連續，h(t)不恒為0，允許在t=0及1處奇異，且0

(H3)f:[0,+)→[0,+)連續.

2 引理

引理2[3]函數g(t,s)，滿足下面不等式

其中，

證明 由引理2及G(t,s),k(t,s)的定義可知，

P={u∈C[0,1]|u(t)≥0,t∈[0,1]}，

則P是C[0,1]上的一個正錐.取

定義算子

引理4[3]若滿足假設(H2)～(H3)，則算子A:P1→P1是全連續的.

3 主要結果

定理1 若滿足假設(H1)～(H3)且

(3.1)

(3.2)

其中，λ1是前面給出的算子T的第一特征值.

如果存在R0>0，使得

f(u)<ηR0，?0≤u≤R0，

(3.3)

證明 由(3.1)和(3.2)可知，存在0

f(u)≥λ1u，?0≤u≤r1，

以及r2>R0，使得

假設A在?Br1∩P1和?Br2∩P1上無不動點.否則結論成立.

類似引理5和引理6的證明，可得i(A,Br1∩P1,P1)=0，i(A,Br2∩P1,P1)=0.

?u∈?BR0∩P1，由(3.3)及引理3有

故

‖Au‖≤‖u‖，?u∈?BR0∩P1.

由引理1知

i(A,BR0∩P1,P1)=1.

因此

定理2 若滿足假設(H1)～(H3)，且

(3.4)

(3.5)

其中，λ1是前面給出的算子T的第一特征值.

如果存在R0>0，使得

f(u)>ηR0，?0≤Ju≤R0.

(3.6)

假設A在?Br1∩P1和?Br2∩P1上無不動點.否則結論成立.

類似引理5和引理6的證明，可知

i(A,Br1∩P1,P1)=1，i(A,Br2∩P1,P1)=1.

?u∈?BR0∩P1，由(3.6)及引理3有

故

‖Au‖≥‖u‖，?u∈?BR0∩P1.

由引理1可知

i(A,BR0∩P1,P1)=0.

因此

[1]周韶林,薛亞娣.一類奇異三階m點邊值問題多個正解的存在性[J].西南大學學報:自然科學版,2010,32(7):22-25.

[2]吳紅萍.一類非線性三階三點邊值問題的多個正解[J].貴州大學學報:自然科學版,2014,31(2):4-6.

[3]趙微.一類三階常微分方程m點邊值問題的正解存在性[J].數學的實踐與認識,2013,43(20):255-259.

[4]郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟南:山東科技大學出版社,2001.

[5]Zhang G,Sun J.Positive solutions of m-point boundary value problems[J].Math. Anal. Appl.,2004(291):406-418.