一種PCB動態應變的監測方法研究

楊龍,賀青川,陳文華,潘駿,朱謙

（浙江理工大學浙江省機電產品可靠性技術研究重點實驗室,杭州 310018）

0 引言

機電設備在工作過程中，印刷電路板（Printed Circuit Board,PCB）受振動載荷作用時，產生的彎矩與固定于PCB上元器件的慣性力共同作用會使PCB基體、元器件、引腳和焊接點產生過大的應力和應變，導致PCB分層、焊點斷裂、焊點脫落、引腳斷裂、元件的封裝開裂等失效模式發生，任何一種失效模式發生都可能導致機電設備故障[1-3]。因此，研究建立在線監測機電設備中PCB受振動作用時的振幅、應力、應變方法，能夠為實現對PCB分層、焊點斷裂、焊點脫落等失效模式進行預測、保障設備正常運行提供技術支撐[4-6]。

目前，獲得PCB受沖擊和振動載荷時的動態響應參數的技術途徑主要有兩種：一是通過實驗測量，可以獲得PCB在不同振動載荷下的動態響應參數[7-8]；二是結合有限元計算軟件，通過數值計算，獲得PCB動態響應參數，所用方法包括質量平均法、質量與剛度平均法、局部平均法等[9-10]。針對數值計算方法，關鍵是如何獲得準確可靠的輸入參數（彈性模量、泊松比、剛度、阻尼、有限元模型的邊界條件等）來提高計算結果的準確性[11-12]。另外，關于如何建立PCB動態應變的理論計算方法，快速獲得PCB在不同載荷下動態響應的研究也從未間斷[13]。通過理論計算的PCB動態響應參數和應變，可作為分析實驗測量結果和數值模擬計算結果準確性的參考。然而，利用上述技術途徑均無法實現對PCB動態應變的長期實時監測。

在上述背景下，本文根據Timoshenko薄板應變計算模型[14]，推導出了PCB振動速度與動態應變的數學關系，提出了一種PCB動態應變監測的方法。在此基礎上，結合實驗，通過對比分析實測與理論計算PCB應變，驗證本文提出的應變監測方法的可行性，為PCB分層、焊點斷裂、焊點脫落等失效預測奠定技術基礎。

1 PCB應變計算方法

PCB由多層環氧樹脂薄板碾壓合成，中間具有導電金屬層，因此其材料屬性會隨載荷方向的變化而變化[10-12]。又因PCB具體的層疊方向未知，目前在確定PCB的材料屬性時，通常按照各向同性材料處理，且假設PCB的厚度均勻、各層的材料屬性相同。

1.1 應變計算基本方程

當PCB受彎曲應力和面內應力同時作用時，其動能方程和應變能方程表達式為[15]：

式中：a和b為x和y方向長度（坐標系如圖1所示）；A=ab為PCB面積；m為PCB面密度；h為厚度；E為彈性模量；μ是泊松比；D=Eh3/[12（1-μ）]是剛度；w=w（x,y,t）是撓度函數；φ=φ（x,y,t）是應力（Airy）函數。式（2）中第一項是由彎曲應力推導出，第二項由面內應力推導出。

圖1 PCB模型

為便于表述，引入拉普拉斯算子Δ和L算子：

函數w和φ的表達式如下：

式中：ws（t）為固定的支撐架坐標；wf（t）為模態的撓度函數；z（t）為主坐標；Φ（x,y）為靜應力函數；函數φ為

當邊界條件為固支時，邊界位移為0，因此可滿足

對于固支條件（1≤a/b≤1.5），wfc（t）為[15]

將式（3）和式（6）代入式（4）,得：

求解式（7），得固支PCB的靜應力函數Φ（x,y）為

1.2 動態響應參數計算

將式（3）撓度函數代入式（1）和式（2），得：

式中：

式中：M0為與激振力相關的歸一化質量；M為與系統自身振動相關的歸一化質量；ω0為自然頻率；α為非線性參數。

將式（11）和式（12）代入Lagrange方程，得：

得到Duffing型非線性微分方程：

根據橢圓函數解的特征，式（16）的通解如下：

式中：σ為頻率參數；t為時間；ε為初始相位角；A為振幅；k為橢圓函數的模數。

對式（17）微分，可得：

將式（17）和式（19）代入式（16）,可驗證式（17）滿足方程解的要求。當t=0時，振動初始作用于ws（t），可認為位移z（t）沒有變化，而速度z˙（t）為最大值，因此主坐標可滿足下列關系：

式中，V為ws（t）初始速度。將式（17）和式（18）代入式（20），可得：

由式（21）中第一式可得：

因此，可求得相角

即：

式中K（k）是完全橢圓積分。初始相位角ε為：

由式（21）中第二式可得：

其中：

將式（21）代入式（25），可求得：

其中

若把式（16）還可以改寫為下面的形式：

即

當PCB初始位移、速度為0，則常數C也為0，因此

式（23）為時間的函數表達式，因此又可改寫為

其中

式（31）為模數為k的第一類橢圓積分。當z（t）在第一個1/4周期達到最大值zma（xt）時，相角θ取得最大值。此時，式（35）變為模數為k的第一類完全橢圓積分：

再由式（27）可得：

1.3 應力與應變計算

PCB的動態應力可利用下列關系式進行計算[14-15]：

根據式（35），可得應力計算公式如下：

PCB的動態應變可以根據廣義虎克定律進行計算：

2 應變測量實驗

實驗用的PCB板及螺栓孔所在位置尺寸參數如圖2所示：其中PCB板長為230 mm，寬為152 mm；螺栓孔所在位置a=220 mm，b=142 mm；PCB板厚h=2 mm，PCB板質量M=0.141 kg；彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.21。測量應變所用設備如圖3所示，應變測量使用三軸應變片（0°/45°/90°），應變片1～5位置如圖2所示。應變片0°對應x方向，所測應變用S_X表示；90°對應y方向，所測應變用S_Y表示；45°對應與x、y方向夾角為45°，所測應變用S_XY表示。

圖2 PCB幾何模型

由文獻[3]～[6]可知，采用螺釘固定PCB可近似固支條件，因此本文用8個M3螺釘，按照如圖2所示的位置固定。實驗裝置如圖3所示，激振源為電磁振動臺，加載方式為恒速正弦掃頻振動：速度為20 mm/s；掃頻范圍分為10～300 Hz；線性掃頻速度300 Hz/min。實驗過程中，采用KEYENCE公司的LK-G5000激光速度傳感器測量振動速度。實驗過程中，應變和速度傳感器的采樣率設置為1.5 k。在測量應變測量前，用一塊與圖2所示幾何參數相同的PCB進行共振頻率測試，結果如圖4所示，一階共振頻率約為250.5 Hz。由此可以確定，將掃頻范圍定為10～300 Hz，能夠測得共振頻率處應變。

圖3 實驗照片

圖4 共振頻率測試結果

根據實驗條件，因正弦掃頻速度為5 Hz/s，記錄數據量為1.5k，據此可知數據記錄速度為0.3 k/Hz。數據采集的起止時間由軟件自動記錄，由此可將得到關于時間序列的應變數據轉換為與頻率對應的序列。圖5為測得的5個位置的結果。圖6為1號位置（如圖2所示）的測量結果。圖7為1號位置的運動速度。由圖6和圖7可以看出，共振頻率位置的應變和速度均達到峰值。

圖5 5個位置的應變測量結果

圖6 1號位置的應變測量結果

圖7 1號位置的速度

3 應變計算與分析

依據第1部分給出的動態應變計算方法，以1號位置（如圖2所示）應變計算為例，進行應變計算，計算過程步驟如下：

1）面積：A=a×b=220×142=31 240 mm2；

2）面密度：m=M/（A×g）=M/（A×9800）=4.606×10-10kg·s2/mm3;

3）振動頻率：依據式（13）得ω=2453.05 Hz；

4）振動速度:恒速V=20 mm/s;

5）彈性剛度:D=Eh3/［12（1-μ）］=1494.5 kg·mm;

6）非線性參數（式（15））：α=421 306.73 mm-2·s-2;

7）振幅（依據式（34））:

8） 應力（依據式（35）～（38）：σx=0.02 kg·mm－2;σy=0.023 47 kg·mm－2;τxy=0。

9）應變（式（39））：

重復上述計算過程，以2453.05 Hz為振動頻率ω輸入參數，以測量的速度（圖7）為速度輸入參數，其它參數不變，計算1號位置（x=y=0）處的應變，結果如圖8和圖9所示。從圖中可以直接看出：計算所得應變大于圖6所示測量所得應變。表1給出了測量和計算結果的峰值及相對偏差。從表1中可以看出，相對誤差不超過10%。

圖8 計算所得應變S1_X

圖9 計算所得應變S1_Y

表1 測量和計算結果的峰值及相對偏差 10-6

引起偏差的原因主要有兩方面:一是受測量誤差影響，應變片本身靠敏感柵來感應PCB表面的應變，而敏感柵具有一定尺寸，故所測量應變實際是敏感柵所覆蓋的一塊小面積上應變量的均值;另外，粘貼應變片也是人為引入誤差因素的一個實驗環節。粘貼應變片時，要求應變片與測量物體表面無縫粘貼，且膠水層應盡量薄。然而實驗時，應變片的粘貼層中可能會夾有氣泡，或粘貼固化不均，這些因素都將導致測量結果與真實值之間存在偏差。二是受輸入的材料參數誤差的影響，主要包括彈性模量、泊松比。在推導PCB振動速度與動態應變的計算公式時，假設PCB各向同性材料，PCB各層的厚度均勻、各層的材料結構均勻。然而，這些假設會與實際存在偏差，從而造成計算結果與實測結果出現偏差。

總體而言，X、Y方向的應變計算結果與實測結果的相對偏差在工程允許的15%以內。由此可知，若要在線監測PCB應變，可以在被監測位置放置微型速度傳感器，并利用該傳感器監測振動速度；然后以監測的速度作為輸入參數，利用本文給出方法計算應變。由于速度是實時監測的，因此計算出的應變能夠反映PCB應變的動態變化過程。另外，理論計算不足之處在于45°方向的應變S_XY無法通過計算獲得。

4 結論

本文根據Timoshenko薄板應變計算模型，推導出PCB振動速度與動態應變的數學關系，提出了一種PCB動態應變監測的方法。首先，通過在PCB上放置傳感器，監測振動速度；然后以監測的速度信號作為輸入參數，利用本文推導的應變計算方法計算出應變，從而實現對PCB應變動態變化過程的監測。通過對比分析實測數據與理論計算結果，驗證了利用本文方法可實現對PCB應變動態變化的監測；為PCB分層、焊點斷裂、焊點脫落等失效預測提供了技術支撐。

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