二維直線運動平臺幾何誤差建模與數字化分析

王斐然 ，廖有用 ，羅 均 ，陳進華

（1.上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072；2.中國科學院寧波材料技術與工程研究所 浙江省機器人與智能制造裝備技術重點實驗室，浙江 寧波 315201）

1 引言

近年來，二維直線運動平臺越來越多地在各個工業領域內展示出應用價值，例如電子元件的封裝就是二維直線運動平臺的重要應用領域之一[1]。而隨著技術的進步，對二維運動平臺精度和速度、加速度的要求也越來越高，研發具有高速高精度的二維直線運動平臺逐漸成為更多學者的研究熱點。與機床類似，二維直線運動平臺在運動過程中，由于各部件的制造和安裝誤差等原因，會產生各種平動誤差和轉動誤差等，這些誤差會影響二維運動平臺的精度[2-3]。目前，針對二維直線運動平臺的誤差研究還較少。

用一種針對二維直線運動平臺幾何誤差的數字化分析方法，用計算機技術建立二維直線運動平臺的三維幾何模型，基于三維模型中的尺寸數據對二維運動平臺的各項幾何誤差進行分配、計算與合成。通過上述方法在二維運動平臺的3D模型設計階段對方案在各個方向上可能產生的幾何誤差進行分析。并針對一定的角位移大小，根據二維運動平臺導軌的運動和受力實際情況，對運動平臺導軌的平面度、垂直度公差提出要求。從而在物理樣機制造出之前對設計方案的誤差量值做出預評估，提前發現設計缺陷或錯誤，并做出及時有效的調整，提前發現設計缺陷或錯誤，提高設計效率[4]。

2 二維運動平臺幾何誤差建模

2.1 二維運動平臺幾何誤差

假定運動體做剛體運動，有六個自由度，即三個平動自由度，三個轉動自由度。對于導軌運動而言，由于制造誤差存在，在軸向存在定位誤差，在其余五個自由度，也有微量位移（線位移與角位移），這些位移就是運動平臺的原始誤差源，將其分為平動誤差和轉動誤差兩類。以圖1為例，三個位移誤差函數分別記為沿X軸向的運動誤差Δx（x）、沿Y軸向的運動誤差（為形象起見，簡稱為Y向的直線度誤差）Δy（x），沿Z向的運動誤差（簡稱為Z向的直線度誤差）Δz（x）；三個轉動誤差分別記為繞X軸的滾轉誤差δx（x）、繞Y軸的俯仰誤差δy（x）、繞Z軸的偏擺誤差δz（x），對于其它方向的導軌也同樣定義[5]。對于二維運動，則在X、Y兩個方向分別存在六項誤差，即X軸方向的運動誤差Δx（x），直線度誤差Δy（x）、Δz（x），滾轉（roll）誤差δx（x），俯仰（pitch）誤差δy（x）、偏擺（yaw）誤差δz（x）；Y軸方向的運動誤差Δy（y），直線度誤差Δx（y）、Δz（y），滾轉誤差δy（y），俯仰誤差δx（y），偏擺誤差δz（y）。

圖1 導軌X軸方向的六項誤差Fig.1 Six Errors Along Axis X of the Guideway

2.2 二維運動平臺幾何誤差建模與計算

采用建立參考坐標系和齊次變換矩陣運算推導的方式對二維運動機構進行幾何誤差建模[6]。如圖2所示的二維運動機構，軸1沿著X方向做直線運動，軸2位于軸1上，可沿著Z方向做直線運動。在軸1上建立1坐標系，在軸2上建立2坐標系，建立固定基礎坐標系R，工具作用點在坐標系2中的坐標為（tx，ty，tz），坐標系2的原點在坐標系1中的坐標為（a2，b2，c2），坐標系1的原點在坐標系 R 中的坐標為（a1，b1，c1）。

圖2 二維運動機構參考坐標系Fig.2 Coordinate System of the 2D Motion Stage

1軸沿著X方向運動時產生X軸方向的運動誤差δx1，Z軸方向的直線度誤差δz1，Y軸方向的直線度誤差δy1，繞X軸轉動的滾轉角εx1，繞Y軸轉動的偏擺角εy1，繞Z軸轉動的俯仰角εz1。2軸沿著Z方向運動時產生Z軸方向的運動誤差δz2，X軸方向的直線度誤差δx2，Y軸方向的直線度誤差δy2，繞X軸轉動的俯仰角εx2，繞Y軸轉動的偏擺角εy2，繞Z軸轉動的滾轉角εz2。則從R坐標系到1坐標系的齊次變換矩陣為：

從1坐標系到2坐標系的齊次變換矩陣為：

工具作用點相對于R坐標系的位置為：

而工具點相對于R坐標系的理想位置為：

則工具作用點的位置誤差為：

由此可得1軸和2軸的誤差分配方案：

表1 誤差分配方案Tab.1 Error Assignment Scheme

2.3 誤差綜合

用2.2中方法計算出因1、2兩軸轉動誤差和平動誤差而導致的在X、Y、Z三個方向的誤差后，需將這些誤差合成。在實際運動中，各個轉動誤差和平動誤差同時達到所分配的數值的可能性是很小的，因而若直接將X、Y、Z三個方向的各項計算誤差值直接累加得到的算術和得到的數值一般是偏大的[7]：

針對這種情況，用兩種方法來處理累加誤差和Earith。方法一是取Earith的0.6倍作為最終合成的誤差[8]：Erule1=0.6Earith（8）

方法二是將累加和Earith作為合成誤差的上限，取各誤差項的均方根和ERMS作為合成誤差的下限：

再計算二者平均值作為最終各個方向合成的誤差[9]：

3 二維運動平臺幾何誤差分析實例

采用前述的誤差建模、計算方法，對一臺直線電機驅動的二維運動平臺進行誤差分析。

3.1 二維運動平臺結構簡介

誤差分析所基于的二維直線運動平臺模型，由X方向直線電機組件2、Y方向直線電機組件3、運動連接體組件和底座1四部分組成，如圖3所示。X軸直線電機動子驅動X軸運動連接架和負載4沿著X軸交叉滾子導軌在X方向運動，Y軸直線電機動子驅動Y軸運動連接架、X軸運動連接架和負載沿著Y軸交叉滾子導軌在Y方向運動。

圖3 二維運動平臺Fig.3 Configuration of the 2D Motion Stage

3.2 二維運動平臺誤差分析

根據前文所述方法對本二維直線運動平臺進行誤差分析。首先，在運動平臺上建立若干參考坐標系，即在Y連接件質心上建立1坐標系，X連接件質心上建立2坐標系，在任意位置上建立基坐標系R。根據本二維運動平臺擬實現的功能，選擇X方向上位于負載質心200mm處一點作為工具作用點。在三維模型中測得相應臂長，選取轉動誤差為5″，平動誤差為0.5μm，得到的誤差分析方案，如表2所示。臂長L單位為mm，角度ε單位為角秒時，計算誤差（以微米為單位）為：

具作用點在X方向的合成誤差約為2μm，Y方向的合成誤差約為7.9μm，在Z方向的合成誤差約為6.8μm，如表2所示。如果選取轉角誤差為4″，平動誤差為0.5μm，得到的誤差分析方案，如表3所示。工具作用點在X方向的合成誤差約為1.7μm，Y方向的合成誤差約為6.45μm，在Z方向的合成誤差約5.5μm。如果選取角誤差為3″，平動誤差為0.5μm，得到的誤差分析方案如表4所示。從表中可知，工具作用點在X方向的合成誤差約為1.45μm，Y方向的合成誤差約為5μm，在Z方向的合成誤差約為4.3μm。

表2 角位移為5″時的誤差分布Tab.2 Geometric Errors@5″Angular Displacement

表3 角位移為4″時的誤差分布Tab.3 Geometric Errors@4″Angular Displacement

表4 角位移為3″時的誤差分配方案Tab.4 Geometric Errors@3″Angular Displacement

4 導軌誤差

導軌是二維運動平臺中的導向與支撐部件，作為導向部件它決定了導向精度的大小，因此導軌是二維運動平臺中很重要的部件。滾動導軌相對于滑動導軌具有導向精度高、摩擦系數小、使用壽命長、重量輕等優點。選用交叉滾子導軌作為導向部件，如圖4所示。由于導軌制造和裝配等造成導軌的表面缺陷會導致導軌表面的平面度誤差以及不同表面之間的垂直度誤差，這些誤差會引起運動平臺運動過程中的顛擺，影響運動平臺的精度。因此針對導軌表面尺寸，在模型設計階段對導軌各表面制造誤差提出定量要求。在三維模型中測得導軌尺寸：X軸導軌橫向尺寸為12mm，軸向尺寸為150mm，縱向尺寸為12mm；Y軸導軌橫向尺寸為12mm，軸向尺寸為200mm，縱向尺寸為12mm。

圖4 交叉滾子導軌示意圖Fig.4 Cross Roller Way（CRW）

4.1 俯仰、偏航引起的導軌表面平面度誤差

根據形位誤差的定義[10]，結合二維運動平臺中交叉滾子導軌運動與受力實際情況，選定一定的角位移，對X、Y方向上導軌相關安裝面的平面度誤差、垂直度誤差進行計算，并根據公差標準提出公差要求。當俯仰、偏航角大小為5″時，所引起X方向導軌固定軌的平面度誤差為

所引起Y方向導軌固定軌的平面度誤差為：

運動平臺X導軌長150mm，Y導軌長200mm，依照GB/T1184-1996標準[10]，對于X、Y導軌，當公差等級不高于4級時，俯仰、偏航角所引起的導軌平面度誤差都在平面度公差值范圍內。因此，對于導軌的下表面和側面的平面度公差，選擇公差等級為4級。同樣，當俯仰、偏航角為 4″時，Δx=2.907μm，Δy=3.876μm。查表，選擇公差等級為3級。當俯仰、偏航角大小為3″時，Δx=2.182μm，Δy=2.907μm，公差等級為3級。

4.2 導軌側面與底面之間垂直度誤差

導軌側面與底面在運動方向上尺寸都為12mm，則當垂直度誤差角為5″時，所引起的垂直度誤差為：

按GB/T 1184-1996，當垂直度誤差角取5″時，對于X、Y導軌，導軌側面與底面之間垂直度誤差都在垂直度公差范圍內，垂直度公差等級應達到1級精度。從二維直線運動平臺預實現精度和工程上所能實現的精度綜合考慮，取滾轉轉角roll、俯仰轉角pitch、偏擺轉角yaw大小為5″，得到導軌的初步公差要求，如圖5所示。

圖5 導軌公差要求Fig.5 Tolerance Requirement of CRW

5 結論

（1）用一種數字化分析方法，基于三維模型對二維直線運動平臺的幾何誤差進行了建模、分配以及合成。（2）根據形位公差定義，通過計算分析對運動平臺使用的導軌提出了初步的形位公差要求。通過上述工作，在虛擬樣機設計階段就能對擬采用設計方案的結構特性、性能參數、工藝可行性等形成預評估，能有效提高設計效率、降低設計成本，并為后期精密運動的設計提供可靠的參考。

［1］宋磊.超高加速精密運動平臺的動態設計與優化［D］.哈爾濱：哈爾濱工業大學，2012：1-15.（Song Lei.Dynamic design and optimization of high acceleration and high precision motion platform［D］.Harbing：Harbin Institute of Technology，2012：1-15.）

［2］楊枝.高檔數控機床幾何誤差建模與參數溯源優化技術及其應用［D］.杭州：浙江大學，2014：2-13.（Yang Zhi.Research and application on geometric error modeling and parameters traceability of CNC machine tools［D］.Hangzhou：Zhejiang University，2014：2-13.）

［3］王哲，趙愛國，趙德云.數控機床定位精度的綜合分析［J］.機械設計與制造，2010（9）：132-133.（Wang Zhe，Zhao Ai-guo，Zhao De-yun.Comprehensive analysis of the positioning precision of CNC［J］.Mechanical Design and Manufacturing，2010（9）：132-133.）

［4］黃宗南，洪躍.先進制造技術［M］.上海：上海交通大學出版社，2010：16-45.（Huang Zong-nan，Hong Yue.Advanced Manufacturing Technology［M］.Shanghai：Shanghai Jiao Tong University Press，2010：16-45.）

［5］余治民，劉子健，艾彥迪.大型數控龍門導軌磨床幾何誤差建模與基于可靠性理論的精度分配［J］.機械工程學報，2011，47（5）：142-151.（Yu Zhi-min，Liu Zi-jian，Ai Yan-di.Geometric error model and precision distributionbasedonreliabilitytheoryfor large CNC gantry guideway grinder［J］.Journal of Mechanical Engineering，2011，47（5）：142-151.）

［6］ALEXANDER H S.Precision Machine Design［M］.Englewood Cliffs:Prentice Hall，1992：74-76.

［7］SHEN Y L，DUFFIE N A.Comparison of combinatorial rules for machine error budgets［J］.CIRP Annals-Manufacturing Technology，1993，42（1）：619-622.

［8］WILLS-MOREN W J，Error budgeting，the mechanical design of high precision machines［Z］.Course notes，Cranfield Inst.of Tech，Cranfield，UK，1981：1-17.

［9］THOMPSON D C，The design of an ultra-precision CNC measuring machine［J］.Annals of the CIRP，1989，35（1）：501-504.

［10］姜明燦，張正祥，吳水萍.公差與測量技術［M］.武漢：華中科技大學出版社，2006：53-89.（Jiang Ming-can，Zhang Zheng-xiang，Wu Shui-ping.Tolerance and Measurement Technology［M］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology Press，2006：53-89.）