溝曲率半徑系數對高速陶瓷球軸承潤滑狀態影響的研究

向北平，付 康，倪 磊 ，王文升

（1.西南科技大學 制造過程測試技術教育部重點實驗室，四川 綿陽 621010；2.中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621000）

1 引言

高速深溝陶瓷球軸承被廣泛用于航空航天、航海、核工業等軍民高端領域中，隨之而來的問題是如何優化軸承參數，使其處于最佳潤滑工況條件下工作，提高工作穩定性和使用壽命。在深溝球軸承工作過程中，內外溝曲率半徑系數對軸承潤滑狀態的影響非常大。當內、外曲率半徑系數過小時，滾動體與內外圈嵌合度較大，滾動體和內外滾道之間由于摩擦產生大量的熱量，導致潤滑油溫度迅速升高，影響潤滑油的性能，進而導致軸承潤滑效果大打折扣甚至失效；同時產生大量的熱量導致內外圈發生變形，不利于軸承穩定性工作，降低了軸承壽命。當內外曲率半徑系數過大時，不利于軸承實現定位作用，也使滾動體與內外圈的嵌合度較小，在同樣載荷的情況下，受到的接觸應力增大，接觸區油膜厚度減小，導致軸承壽命減小。因此關于溝內外曲率半徑系數的研究對軸承的工作穩定性和壽命至關重要。目前，我國大部分研究者研究溝曲率半徑系數對軸承的影響主要停留在對軸承接觸區應力和應變的影響。文獻[1]運用擬動力學法得出了溝曲率半徑系數對軸承最大載荷的影響；文獻[2]運用三維有限元仿真模型，通過NASTRAN有限分析軟件得出溝曲率半徑系數對軸承載荷能力的影響；文獻[3]利用第一類和第二類完全橢圓積分推導出內外圈和滾動體接觸應力近似解，并用MATLAB仿真得出接觸力影響最小時候的最優曲率參數。

2 軸承計算模型的推導

2.1 接觸幾何關系

球軸承利用滾動體和滾道之間的接觸實現對載荷的支承，若無載荷，兩者的接觸為點接觸，若施加一定的載荷，接觸區由一個點擴展為一個接觸面，接觸面與接觸法線垂直平面內的投影為一橢圓，即為橢圓接觸區，如圖1所示。圖中：a—接觸區域的長半軸；b—接觸區域的短半軸；σmax—最大接觸應力。

圖1 點接觸壓應力分布Fig.1 Point Contact Pressure Stress Distribution

2.2 軸承主曲率與曲率差

深溝球軸承幾何參數，如圖2所示。圖中：ri，ro—內外溝道曲率半徑；Do和Di—軸承外圈和內圈直徑；dm—軸承節圓直徑；D—滾動體直徑；do，di—外內環溝道直徑。滾動體為接觸體Ⅰ內外圈為接觸體Ⅱ，凸面為正，凹面為負。

圖2 深溝球軸承幾何示意圖Fig.2 Deep Groove Ball Bearing Parameters

本算例所采用的軸承，外圈外徑13mm；外圈內徑10.1mm；內圈外徑6.27mm；內圈內徑4mm；寬度5mm；滾動體直徑2.381mm。滾動體直徑、接觸角和軸承節圓直徑的相互之間[4]的關系為：

內、外圈滾道主曲率和分別為：

內、外圈滾道主曲率差：

式中：fi和fo—內、外溝曲率半徑系數。

滾動體與內外圈滾道接觸面積S、So分別為：

外圈接觸橢圓區域長、短半軸：

2.3 Hertz接觸分析

式中：Γ和Σ—全橢圓積分；Σρi和Σρo—軸承幾何參數確定。

根據深溝球軸承的接觸幾何關系，有：

式中：Rx—第一（x向）主平面內有效半徑mm；Ry—第二（y向）主平面內有效半徑，mm；f—內、外溝曲率半徑系數，以上公式上面的符號用于內圈，下面的符號用于外圈；γ—溝曲率變形系數γ=D/dm。

溝曲率半徑系數與第一主平面有效半徑的關系，如圖3所示。

圖3 溝曲率半徑系數與Rx關系Fig.3 Curvature Radius Coefficients with Rx

3 點接觸彈流潤滑數學模型

3.1 彈流潤滑等效模型

圖4 橢圓接觸彈流潤滑等效模型Fig.4 Elliptical Contact Elastohydrodynamic Lubrication Equivalent Model

在載荷作用下，任意狀態的兩個剛性體相互擠壓，必然產生變形，由于物體的彈性，接觸區由一個點擴展成一個橢圓，所以點接觸彈流潤滑其實就是橢圓接觸問題。潤滑[6]對疲勞壽命的影響主要體現在潤滑油膜的有效性，而潤滑油膜的有效性取決于油膜厚度與滾動體和滾道接觸表面形貌的相對值。去除軸承的保持架和內外圈上的安裝孔，對滾動體進行適當的拆分處理[7]。潤滑油速度和載荷同時作用，形成油膜，x為卷吸速度方向，如圖4所示。

3.2 彈流潤滑基本方程

3.2.1 Reynolds方程

式中：P—潤滑油的壓力（Pa）；h—油膜的厚度（m）；ρ—潤滑油的密度（kg/m3）；η 位潤滑油的粘度（Pa·s）；x、y、z—坐標變量。

3.2.2 膜厚方程

式中：E′—兩固體綜合彈性模量；Rx、Ry—第一和第二主平面有效半徑。

3.2.3 變形方程

3.2.4 粘壓方程

3.2.5 密壓方程

式中：P的單位為GPa。

3.3 參數的量綱一化

在點接觸彈流潤滑問題解決的過程中，采用量綱一化可以大量的減少所研究的變量的個數，計算得到的結果在應用時完全不受單位的限制，適用于更廣的參數范圍。經量綱一化后的彈流潤滑點接觸問題的Reynolds方程為：

式中：Rx—（x向）主平面內有效半徑；Kex—表面在x方向上的橢圓系數；X—量綱一化坐標，X=x/a；a—接觸區在x方向上橢圓半軸長；Y—量綱一化坐標，Y=y/b；b—接觸區在y方向上的橢圓半軸長；α=a/b；P—量綱一化壓力，P=P/PH；H—量綱一化膜厚，H=hRx/a2。

3.4 雷諾方程求解域

X軸與接觸橢圓的短軸一致，其中AB是入口邊，CD為出口邊，如圖5所示。而AD和BC為端泄邊，α、β和γ來確定求解域邊界的位置。通常取α=2、β=4；γ與出口邊界有關，在求解過程中確定。入口和端泄邊界上壓力為0，在出口邊界采用Reynolds邊界條件，即 P=0 和 ?p/?x=0。

圖5 點接觸求解域Fig.5 Contacts Solution Domain

4 溝曲率半徑系數對軸承接觸區油膜厚度和壓力的影響

4.1 數值計算方法的選用

本次計算方法采用迭代法[10]，在低壓區采用Gauss-Seidel迭代法，在高壓區采用Jacobi雙極子迭代法，在迭代過程中修正壓力時，上述兩種方法在不同區域使用。松弛因子關系到計算是否收斂，通常選用Gauss-Seidel、Jacobic雙極子迭代松弛因子和剛體位移修正松弛因子。第一個松弛因子范圍為（0.1～0.3），第二個松弛因子對收斂影響較大，為（0.1～0.6），對輕載工況應該采用較小，選用0.15。剛體位移修正松弛因子[11]C3根據經驗公式：

式中：c1—松弛因子；ξi—壓力修正量、Pi—迭代修正前后的壓力。

點接觸Reynolds方程運用差分方程進行離散，接觸區要修正的壓力分為兩部分，壓力影響部分和膜厚影響部分分別為：

當A1較大時在壓力區采用Gauss-Seidel修正法，當A2較大時在壓力區采用Jacobic雙極子迭代法。賦值參數：徑向載荷為5N，綜合彈性模量E=2.7431195×1011，根據實際工況，轉速采用72000r/min，潤滑油初始粘度0.012325Pa·s。程序計算框圖，如圖6所示。

圖6 計算流程圖Fig.6 Calculation Flow Chart

4.2 數值仿真計算

分別選取內外溝曲率半徑系數，0.505、0.510、0.515、0.520、0.525、0.530、0.535、0.540，節點數為 65，粘壓方程系數取 0.68，軸承轉速為72000r/min，潤滑油粘度為0.012325Pa·s，程序進行數值仿真計算。0.515時壓力與膜厚云圖，如圖7、圖8所示。由圖7和圖8可知，當內外溝曲率半徑系數在0.5145735和0.5196584時軸承內外圈與滾動體接觸區最小膜厚相同，在這個區域內，內外圈與滾動體接觸區最小膜厚較為相近。隨著溝曲率半徑系數的增加，內外圈與滾動體接觸區最大壓力隨之增加。通過比對仿真結果與傳統理論計算結果對比，兩種計算方法膜厚結果差別在0.01μm，壓力計算結果差別在0.01MPa，可知從模型的建立到計算方法的選用具有很好的可行性。

圖8 軸承壓力俯視圖Fig.8 The Vertical Pressure

圖7 軸承壓力云圖Fig.7 Stress Nephogram

圖9 膜厚與溝曲率半徑系數關系Fig.9 Relationship Between Film Thickness and Curvature Radius Coefficient

圖10 壓力與溝曲率半徑系數關系Fig.10 Pressure Relationship with Curvature Radius Coefficient

5 結論

（1）建立了高速深溝球軸承點接觸彈流潤滑數值計算模型，通過量綱一化減少變量，并利用差分法對Reynolds方程進行離散，推導出迭代計算得松弛方程。（2）對在高壓和低壓區的接觸進行劃分，分別對兩個壓力區進行分別修正，采用不同的迭代方法進行數值計算，求得內外圈接觸區最大壓力和最小膜厚。（3）通過仿真多組數據，計算出內外圈溝曲率半徑系數與軸承內外圈接觸區最大壓力以及最小油膜厚度的關系，得出在0.5145735和0.5196584時軸承內外圈與滾動體接觸區油膜厚度較為相近，在這個范圍內內外圈潤滑狀態都較為充分.對高速小型深溝球軸承的設計和優化及其延壽提供了依據。

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