斜線齒面齒輪插齒加工及有限元分析

張瑞鋒，裴朋超，張昆侖，焦生杰

（長安大學 工程機械學院，陜西 西安 710064）

1 引言

面齒輪傳動能夠傳遞相交軸運動[1]，具有傳動平穩、結構緊湊等優勢[2]，能很好地滿足航空航天領域傳動系統的設計要求。斜線齒面齒輪是一種新型的面齒輪，不能在現有的三維軟件中直接建模，又不可能實現齒輪副的參數化建模；在接觸應力和彎曲應力計算方面，尚未有關于斜線齒面齒輪的精確應力計算公式可供參考，近似公式計算的結果比較粗糙，不能滿足像航空齒輪的高性能要求，用有限元方法進行研究具有重要的意義[3-5]。文獻[6-7]研究了面齒輪的嚙合原理，齒頂變尖和齒根根切的幾何條件以及加載接觸應力分析等，為國內面齒輪的后續研究奠定了基礎。文獻[8]比較了NURBS和虛擬加工的方法建立的幾何模型的精度，并用ABAQUS進行面齒輪單齒和多齒模型的接觸應力和彎曲應力計算。文獻[9]運用軟件ANSYS計算了面齒輪和圓柱齒輪的彎曲應力。

綜合上述考慮，決定從齒輪副的齒面數學模型、高精度三維模型和有限元分析這三個方面入手，模擬漸開線直齒輪插齒刀斜插面齒輪的運動過程，研究準共軛齒廓的展成原理，建立面齒輪齒面的精確數學模型并研究斜線齒面齒輪的齒寬設計，利用三維建模軟件CATIA逆向建出斜線齒面齒輪副的高精度實體模型，利用有限元計算軟件ABAQUS，精確計算出嚙合過程中的齒面接觸應力和齒根彎曲應力，提高斜線齒面齒輪傳動的可靠性。

2 面齒輪的插齒加工

2.1 插齒原理

斜線齒面齒輪插齒原理圖，如圖1所示。其插齒過程是模擬直齒圓柱齒輪與斜線齒面齒輪斜交嚙合傳動。斜線齒面齒輪插齒加工時，插齒刀軸線zs和被加工齒輪軸線z2是異面直線且與半徑方向有一定的斜角γs。插齒刀繞軸線zs以角速度ωs旋轉的同時沿著軸線zs進給，被加工面齒輪繞軸線z2以角速度ω2旋轉，ω2與ωs的比值等于滾比。

圖1 斜線齒面齒輪插齒原理Fig.1 Shaper Machining Principle of Face Gear

2.2 斜線齒面齒輪的齒面方程

插齒刀坐標系Ss（xs，ys，zs）中，插齒刀漸開線齒廓方程為：

式中：rbs—插齒刀的基圓半徑；us—刀具齒面的軸線參數；θs—刀具的角度參數；θ0s—插齒刀漸開線與基圓交點的角度參數，由式（2）確定：

式中：Ns—刀具的齒數；漸開線函數 invα0=tgα0-α0，α0—壓力角。

斜線齒面齒輪插齒加工采用的坐標系，如圖2所示。動坐標系Os和O2分別與插齒刀、面齒輪固聯；參考坐標系Oa和Od分別為插齒刀、面齒輪的參考坐標，用于確定插齒刀加工轉角φs和面齒輪加工轉角φ1，輔助坐標系Ob確定了插齒刀相對于面齒輪斜交的角度γc，輔助坐標系Oc用于確定與Ob的相對位置L0以及軸交角γm。面齒輪的齒面方程可由式（4）導出：

圖2 面齒輪插齒加工坐標系Fig.2 Shaper Processing Coordinate System of Face Gear

式中：M2s=M2dMdcMcbMbaMas為刀具坐標系Os到被加工面齒輪坐標系 O2的變換矩陣；f（us，θs，φs）=0 為嚙合方程。

式中：ωx，ωy，ωz—面齒輪角速度在插齒刀坐標系中的表示，如式（6）所示。

式中：x2=xs-L0sinγccosφs，y2=ys+L0sinγcsinφs，z2=us+L0cosγc將式（4）和式（6）代入式（5）的嚙合方程中，求得：

將式（7）代入式（4）的齒面方程中，消去us，從而得到以面齒輪的齒面方程，如式（8）所示。

2.3 避免根切和變尖的條件

在斜線齒面齒輪的內徑的齒根處，容易產生根切現象，根切現象的出現會將面齒輪齒根處的正常的齒面切除，降低了齒根處的疲勞強度，影響到斜線齒面齒輪的使用壽命，因此，這種現象不允許發生。從面齒輪的結構上看，從內端至外端的壓力角是連續增大，因此在大端靠近齒頂處易發生變尖，尖頂是在面齒輪切削過程中出現的一種負面情況。它的出現削弱了在該區域輪齒的強度，因此在設計過程中應當避免輪齒齒頂變尖。根據文獻[6]中所提出的公式，求得在斜線齒面齒輪內徑處不發生根切現象的臨界點的坐標（x1，y1，z1），則對應的臨界齒寬，如式（9）所示。

當面齒輪的內半徑不小于時，可避免根切。斜線齒面齒輪齒頂處不發生變尖現象的臨界點的坐標為（x2，y2，z2），則對應的臨界齒寬，如式（10）所示。

3 斜線齒面齒輪的建模

CATIA軟件作為一種三維建模軟件，具有強大的逆向建模功能。利用CATIA對齒輪進行逆向建模，其建模過程如下：（1）通過軟件MATLAB編寫齒面方程程序，得到齒面網格點的離散點云，并保存為CATIA可讀取的文件格式。（2）將離散點云導入CATIA中，擬合出齒面并進行圓形陣列；根據齒輪參數，通過旋轉、拉伸等，建立輪坯模型；利用齒面的圓形陣列修剪輪坯模型后，進行封閉曲面、凹槽等操作，最終得到斜線齒面齒輪副的面齒輪和圓柱齒輪的實體模型。（3）將面齒輪和圓柱齒輪的實體模型導入裝配設計中，根據裝配參數，建立偏移約束，角度約束等，得到斜線齒面齒輪副的裝配模型。

4 斜線齒面齒輪的有限元分析

采用ABAQUS軟件對斜線齒面齒輪副進行有限元分析。利用MATLAB軟件編寫程序進行有限元網格劃分，通過網格劃分得到斜線齒面齒輪的單元數為38376，圓柱齒輪的單元數為38376，網格單元選用三維實體單元C3D8R。將已劃分好網格的五齒有限元模型導入軟件ABAQUS中，進行以下設置[10]：（1）定義材料屬性：面齒輪和圓柱齒輪的被賦予材料屬性相同，彈性模量206000MPa，泊松比0.3，密度7800kg/m3，彈性類型為各向同性。（2）結構裝配：在創建實例中選擇面齒輪和圓柱齒輪進行裝配并建立各自的局部坐標系和參考點。（3）創建分析步：采用顯示動力學進行分析，分析時間為圓柱齒輪轉過五個齒的時間，設置為2.9s，最大時間增步為20，根據網格單元數和運算所需的時間，合理的設定質量縮放系數。（4）創建幅值、邊界條件和載荷：選擇平滑分析步，幅值設定為1，時間/頻率為0.4s；限制斜線齒面齒輪和圓柱齒輪的自由度，讓其只能繞自身軸線轉動；圓柱齒輪為主動輪，其轉速設定為0.4rad/s，將載荷加在面齒輪上，模擬圓柱齒輪在阻力作用下的運動情況，設定阻力矩為500N·m。（5）創建接觸和耦合約束：選擇面-面接觸，采用動力學接觸算法進行計算；在軸孔面和參考點間建立剛性連接，保證兩個齒輪能繞各自軸線旋轉。完成以上設置之后，提交作業，進行有限元分析，得到最終結果文件，進行分析和處理。

5 算例

5.1 不同傾角時的齒寬設計

不同傾角時，最大內徑、最小外徑以及齒寬的變化情況，如表1所示。隨著傾角的增大，最大內徑和最小外徑都增大，且最大內徑增加的幅度比最小外徑增加的幅度大，齒寬減小。

表1 不同傾角時，最大內徑、最小外徑和齒寬Tab.1 Maximum Diameter，Minimum Outer Diameter and Tooth Width at Different Angle

5.2 齒輪副的建模

斜線齒面齒輪副的基本參數，如表2所示。利用軟件CATIA進行逆向建模，最終建立斜線齒面齒輪、圓柱齒輪和齒輪副的實體裝配模型，面齒輪和圓柱齒輪的裝配模型，如圖3所示。齒面較為光順平滑，測量擬合齒面與離散點云之間的誤差，面齒輪的誤差為0.007mm，圓柱齒輪的誤差為0.004mm，所建實體模型精度高，驗證了該方法的可行性和準確性。

表2 齒輪副的基本參數Tab.2 Basic Parameters of Gear Pair

圖3 齒輪副裝配模型Fig.3 Assembly Model of Gear Pair

5.3 有限元分析

為了進行比較，設計計算了0°傾角和5°傾角兩組不同裝配情況下的斜線齒面齒輪副的應力狀態。某一瞬時面齒輪的彎曲應力云圖和接觸應力云圖，如圖4所示。斜線齒面齒輪和圓柱齒輪嚙合過程中的接觸為點接觸，但由于材料具有一定的彈性變形，因此，在嚙合過程中，接觸區域為接觸橢圓。圖中齒輪副的接觸區為橢圓形，接觸橢圓區域的中心位置應力值最大，沿著橢圓中心向四周，應力值逐漸減小。兩組不同傾角的齒輪副的彎曲應力曲線，如圖5所示。曲線顯示，傾角為5°的齒輪副所受的彎曲應力比傾角為0°時的齒輪副所受的彎曲應力大，更容易產生彎曲疲勞破壞，原因是齒輪副裝配時傾斜一定的角度，導致其綜合曲率半徑減小，彎曲應力增大。兩組不同傾角的齒輪副的接觸應力曲線，如圖6所示。曲線顯示，傾角為5°時齒輪副所受的接觸應力比傾角為0°時齒輪副所受的接觸應力大，更容易發生接觸疲勞破壞。產生上述結果的原因是齒輪副裝配時傾斜一定的角度，齒輪副的重合度減小，接觸應力增大。以上曲線中，當第一個齒進入嚙合和第五個齒退出嚙合時，彎曲應力和接觸應力較大，原因是發生邊緣接觸，產生了應力集中現象[8]。對斜線齒面齒輪進行適當的修形，可有效的避免邊緣接觸，提高齒輪副的使用壽命和可靠性。

圖4 面齒輪的應力云圖Fig.4 Stress Cloud of Face Gear

圖5 兩組齒輪副的彎曲應力曲線Fig.5 Bending Stress Curve of Two Gear Pairs

圖6 兩組齒輪副的接觸應力曲線Fig.6 Contact Stress Curve of Two Gear Pairs

6 結論

（1）以插齒原理為基礎，推導出齒輪的齒面方程并進行齒寬設計；用CATIA的逆向建模功能建出斜線齒面齒輪和圓柱輪的實體模型，齒面點云數據與擬合齒面之間的誤差較小，驗證了該方法的準確性。（2）將五齒有限元網格模型導入軟件ABAQUS中，進行設置和作業分析。（3）比較兩組齒輪副的接觸應力和彎曲應力，兩組齒輪副中，5度傾角齒輪副更易發生彎曲疲勞破壞和接觸疲勞破壞。

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