三電機振動篩轉子對其運動的影響分析及應用

侯勇俊，張麗萍，方 潘，吳先進

（1.西南石油大學 機電工程學院，四川 成都 610500；2.四川寶石機械專用車有限公司，四川 廣漢 618300）

1 引言

早在1665年發現了鐘擺反相同步現象，并詳細解釋說明兩鐘擺的同步運動。19世紀50年代文獻[1-2]分別在某些機電耦合系統及其他聲學系統中發現了交互振蕩系統中的協調行為。與此同時，在天體力學應用的推動下，法國數學家Poincare引入了小參數法求解非線性系統的周期解。文獻[3]于20世紀末期，出版了第一本關于機械振動、鐘擺、旋轉系統等技術裝備的英文著作，提出了將Poincare法應用于同步狀態和穩定性問題研究。此后，許多學者紛紛提出了其他方法。文獻[4-6]提出了小參數修正法，研究了多轉子耦合振動系統在超共振狀態下的同步性和穩定性問題；文獻[7-8]利用哈密頓原理分析了基于運動合成原理的三電機自同步平動橢圓振動篩同步性能；文獻[9-10]引入龐加萊法和能量法研究了轉子耦合擺自同步振動系統在前共振和超共振區的自同步行為。

盡管上述研究中對多轉子耦合振動系統的同步性和穩定性問題已經做出闡述，但在實際工程應用中，通過調節電機參數來獲得理想的運動軌跡并未給出詳細的理論解釋和實驗說明。基于這一工程背景，采用數值分析方法定性分析了電機安裝參數以及質量參數對系統同步行為的影響；建立了機電耦合仿真模型，獲得振動系統穩定的同步相位差及于xoy平面內的運動響應；最后對比分析了試驗結果與仿真和理論結果，給出了通過減小偏心塊質量比可以獲得理想的橢圓軌跡且不改變自同步子系統的同步行為的結論。

2 振動系統運動分析

三電機自同步振動系統力學簡化模型，如圖1所示。該系統主要由剛性振動體、偏心轉子、對稱布置的線性支撐彈簧及隔震基座等構成。其中剛性振動體的質量為m，上方安裝有三個由異步電動機驅動的偏心轉子，偏心轉子的質量分別為m1、m2、m3；振動體通過四個對稱布置安裝的線性彈簧與隔振基座相連成一整體，固定彈簧的彈簧于水平x方向、豎直y方向以及擺角ψ方向上的彈性系數分別為kx，ky，kψ，阻尼系數分別為fx，fy，fψ。o′（o）是振動體與激振器的合成質心，o″是振動體的質心，oxy 為系統固定坐標，o′x′y′為系統動坐標，o′x″y″為系統旋轉坐標。偏心電機的安裝參數分別記為 li、βi（i=1，2，3），li代表各個偏心快質心 oi到系統合成質心間的距離，βi表示o′oi與x軸正向夾角。r為各轉子偏心半徑，φi（i=1，2，3）表示各偏心轉子的相位角。偏心轉子在異步電動機驅動下開始工作，各偏心轉子按圖1方向等速旋轉，逐漸實現同步。

圖1 三電機自同步振動篩力學模型Fig.1 Physical Model of Tri-Motor Self-Synchronous Vibrating Screen

利用拉格朗日方程推導出系統的動力學微分方程：

設轉子1與轉子2的相位差角為α12，轉子2與轉子3的相位差角為α23，則時刻t時系統各轉子的相位角分別表示為：

利用龐加萊法[9]獲得振動系統的平衡方程和自同步條件分別為式（5）和不等式（6）：

由系統的平衡方程和同步條件可知振動系統同步性能的影響因素較多。當系統的參振質量、轉動慣量一定時，振動系統的同步性不僅取決于振動系統彈性系數μx和激振電機安裝角βi，還取決于偏心轉子質量比 ηi=mi/m0（i=1，2，3）以及激振電機的安裝位置 rli。

3 振動系統同步運動數值分析

為了進一步探討三電機偏心轉子耦合振動系統的同步行為，基于上節對系統的同步理論分析，采用數值分析方法求得系統穩定同步相位差角近似解。由系統穩定性準則式（5）可以發現，當彈簧參數μx等系統參數一定時，轉子間的同步性取決于其安裝參數βi、rli以及其質量比ηi。鑒于影響因素較為復雜，在此以偏心轉子質量之比為變量，電機1、2安裝角為參考變量，對轉子質量比對系統同步行為的影響進行定性分析。振動系統參數和無量綱參數分別，如表1、表2所示。

表1 系統參數，式（1）Tab.1 System Parameter Values for Eq（1）

表中：在此引入安裝參數γ，為電機1、2中心連線的垂線與x軸正向夾角，且有 β1+β2=2γ。

表2 無量綱參數，式（3）Tab.2 Dimensionless Parameter Values for Eq（3）

對于β1分別取π/12，5π/36時，轉子質量比η3對穩定性的影響，如圖2所示。安裝角β1取不同值時，相位差值的變化規律不變，說明當機械系統參數一定時，轉子間的同步性取決質量比η3的取值。隨著質量比η3增加，系統的穩定同步相位差角的值在一定范圍內發生變化，轉子1與轉子2的相位差α12以及轉子2與轉子3的相位差α23在πrad附近波動，且波動范圍為［π/2，3π/2］rad，即轉子1、2和轉子2、3反相同步穩定，而同相行為不穩定；而轉子1與轉子3的穩定相位差值在2πrad附近波動，波動范圍為［3π/2，5π/2］rad，即轉子1、3 在反相同步不穩定，而將實現穩定的同相同步行為。在η3≈1處，轉子2、3相位差α23≈πrad，故在此處由偏心轉子2和轉子3產生的激振力幾乎被完全抵消；而遠離該點相位差值α23有所增加或減小，從而激振力抵消程度減小，由此說明改變轉子3的質量可以產生橢圓形運動軌跡，且一定程度上增大橢圓長軸幅度。

圖2 振動系統的穩定相位差值Fig.2 Stable Synchronization Phase Difference of System

4 計算機模擬仿真驗證

同步相位差是影響該類自同步振動系統的運動響應的直接因素，轉子質量比的改變一定程度上會導致系統的動力學響應產生相應的變化。本節根據振動微分方程式（1）在Matlab/simulink中建立機電耦合模型，三個轉子由三個參數相同的三相異步電動機驅動，模擬仿真獲得振動系統的同步相位差角及相應的運動響應輸出。在本章節針對結構參數為β1=5π/36，其余參數取值的模型，如表1所示。對于η3取0.496、0.338、0.258不同值進行仿真，結果如圖3～圖5所示。

圖3 η3=0.496時，振動系統運動響應Fig.3 The Dynamic Response of Vibrating Screen for η3=0.496

圖4 η3=0.338時，振動系統運動響應Fig.4 The Dynamic Response of Vibrating Screen for η3=0.338

圖5 η3=0.258時，振動系統運動響應Fig.5 The Dynamic Response of Vibrating Screen for η3=0.258

取不同值時，系統啟動約1.5s后，轉子相位差均能平衡在某一個相位點，如圖5（a）所示。計算機仿真結果與理論分析結果誤差對比，如表3所示。從表3中可以知道質量比η3的改變不影響轉子的同步狀態，但同步相位差值有所浮動，且與理論分析結果基本吻合。η3取不同值時，振動系統于x水平方向和y垂直方向上運動響應合成，如圖5（b）所示。振動體運動軌跡的橢圓度（（最大外徑-最小外徑）/標稱外徑×100%）隨質量比減小而增大，而長軸傾角基本不變（約為45°）。

表3 振動系統的理論同步相位差值與仿真同步相位差值對比Tab.3 Comparison Table of Synchronous Phase Value for Different

5 樣機動態測試實驗研究驗證

本節針對以上分析的機械系統參數設計了三電機自同步振動篩實驗樣機，通過模型分析找出系統質心位置，并進行系統動態實驗測試。η3=0.496，0.338，0.258試驗樣機質心運動軌跡，如圖6所示。橢圓運動軌跡長軸隨質量比η3減小有所增大，而短軸明顯減小。實驗研究結果與仿真結果一致，從而間接地映證了理論分析。

圖6 實驗樣機質心的運動響應Fig.6 The Centroid’s Motion Response of Experimental Prototype

6 結論

以三電機自同步振動篩為研究對象，通過引入小參數利用龐加萊法推導出了系統同步平衡方程和穩定條件，利用數值方法定性分析了安裝角β1與質量η3比對系統同步行為的影響，計算機模擬仿真模型證明了理論分析的正確性，最后通過實驗研究手段映證理論與仿真結果。

（1）數值分析結果顯示，當振動系統參數一定且同時滿足系統同步平衡方程和穩定條件時，能夠得到穩定的相位差角，即系統各轉子能實現同步運轉。安裝角β1與質量比η3值的變化使轉子間的同步相位差值在一定范圍內變化，但并未改變各轉子間的同步狀態，轉子 1、2 以及轉子 2、3 始終處于反相同步狀態；而相位差，轉子 1、3 保持同相同步的狀態；（2）雖然轉子3質量比η3不改變轉子間的同步狀態，但系統的同步相位差值α12、α23和α13隨質量比趨近1分別逼近π［rad］和2π［rad］，轉子2、3產生的激振力抵消程度也就越大，系統運動軌跡越接近圓；當η3＜1時，振動體運動軌跡的橢圓度隨質量比η3減小而增大，而長軸傾角基本不變，且振動傾角主要取決于電機安裝參數γ；（3）動態測試實驗結果表明，在三電機自同步橢圓振動篩的工程應用中可以通過調節電機參數η3來獲得滿足篩分效率所需的橢圓軌跡，而不改變系統的同步狀態，可為目前雙軌跡振動篩的參數設計提供參考以及理論支撐。

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