一類三次均勻B樣條曲線曲面

姚 興，杭后俊，李晴晴，尹天樂

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

B樣條方法不僅保留了Bezier方法的優(yōu)良性質(zhì)，而且克服了Bezier方法在形狀調(diào)節(jié)時(shí)不具有局部性的缺陷，在參數(shù)連續(xù)性的基礎(chǔ)上完美解決了在描述復(fù)雜形狀時(shí)遇到的連接問題，并將Bezier方法作為其一個(gè)特例。此外，B樣條方法還提供了一系列配套技術(shù)，展示了其在表示和設(shè)計(jì)自由曲線曲面時(shí)的強(qiáng)大能力[1-4]。雖然NURBS方法提供了用權(quán)因子來調(diào)節(jié)曲線曲面的形狀[5-6]，但權(quán)因子難以駕馭的特點(diǎn)使得一般用戶望而興嘆。而實(shí)際上，(非有理)B樣條方法對于自由曲線曲面形狀的表示、設(shè)計(jì)已經(jīng)足夠，只有在遇到二次圓錐曲線曲面等特殊情況時(shí)才考慮使用NURBS方法[7]。但同時(shí)也看到，B樣條方法也存在自身的缺陷，如只能通過移動(dòng)控制點(diǎn)來調(diào)節(jié)曲線曲面形狀[8-9]，調(diào)節(jié)手段過于單一，等等。而由于形狀參數(shù)的調(diào)整更為直觀和靈活,因而成為工程應(yīng)用中用來調(diào)節(jié)曲線曲面形狀的實(shí)用方法。因此，國內(nèi)外學(xué)者普遍采用在B樣條基函數(shù)中引入形狀參數(shù)的方法[10-15]，但擴(kuò)展對象主要針對B樣條曲線，對將形狀參數(shù)引入B樣條曲面的表示以及對B樣條曲面的調(diào)節(jié)作用討論較少。

文中首先引入帶形狀參數(shù)的類三次均勻B樣條基函數(shù)，分析了其基本性質(zhì)以及形狀參數(shù)的幾何意義；其次基于該組基函數(shù)定義了帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲線，闡述了形狀參數(shù)對均勻B樣條曲線的調(diào)節(jié)功能；最后將形狀參數(shù)引入到均勻B樣條曲面中，詳細(xì)討論了帶形狀參數(shù)的均勻B樣條曲面的基本性質(zhì)以及形狀參數(shù)對曲面的影響，并給出了具體實(shí)例。

1 帶形狀參數(shù)的三次均勻B樣條

稱下列分段三次函數(shù)為類三次均勻B樣條基函數(shù)：

Ni,2(u,α)=

(1)

其中，α(-1≤α≤1)為形狀參數(shù)；n(i=0,1,…,n)為控制頂點(diǎn)下標(biāo)上限。

不難看出，類二次均勻B樣條基函數(shù)具有如下基本性質(zhì)：

(2)局部支撐性：當(dāng)-1≤α≤1,i≤u≤i+3時(shí)，Ni,2(u,α)≥0。

(3)Ni,2(u,α)=Ni-j,2(u-j,α),j=0,1,…,i。即類三次均勻B樣條在定義域內(nèi)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間上都具有相同的形狀，且任一節(jié)點(diǎn)區(qū)間上的類三次均勻B樣條都可以由另一節(jié)點(diǎn)區(qū)間上的類二次均勻B樣條經(jīng)過平移得到，如圖1所示。其中α取0.25和-0.25

圖1 類三次均勻B樣條的平移特性

分別對應(yīng)實(shí)線和虛線。

(4)當(dāng)α=0時(shí)，即退化為二次均勻B樣條。

Ni,2(u)=

(2)

形狀參數(shù)α對樣條形狀的影響如圖2所示。其中α取0,0.5和-0.5分別對應(yīng)實(shí)曲線、長虛線和點(diǎn)畫線?？梢钥吹?，當(dāng)α越小，樣條形狀越向左偏，當(dāng)α越大，樣條形狀越向右偏。

圖2 α對樣條形狀的影響

2 類三次均勻B樣條曲線

稱曲線Ci(u,α)為類三次均勻B樣條曲線。

3,…,n

(3)

其中，di(i=0,1,…,n)為控制點(diǎn)；-1≤α≤1為形狀參數(shù)。

而實(shí)際上，只需作參數(shù)變換t=u-i，Ni-2,2(u,α),Ni-1,2(u,α),Ni,2(u,α)就可以改寫成如下用局部參數(shù)的表示形式：

(4)

上述B樣條曲線的方程可以表示成如下形式：

Ci(t,α)=di-2B0,2(t,α)+di-1,2B1,2(t,α)+

t∈[0,1];i=2,3,…,n

(5)

類三次均勻B樣條曲線具有如下性質(zhì)：

圖3表示參數(shù)α對曲線Ci(u,α)的影響。

圖3 參數(shù)α對曲線形狀的影響

i=2,3,4

(6)

其中，α取0,0.35和-0.35分別對應(yīng)實(shí)線、長虛線和短虛線。

不難發(fā)現(xiàn)，在每一節(jié)點(diǎn)區(qū)間上，當(dāng)λ越小，曲線越被拉向控制二邊形的第一條邊；當(dāng)λ越大，曲線越被拉向控制二邊形的最后一條邊。

圖4為用形狀參數(shù)表示的均勻B樣條曲線形成的一組封閉圖形。

圖4 類二次均勻B樣條曲線形成的封閉圖形

3 類3×3次均勻B樣條曲面

稱如下分片表示的曲面為類3×3次均勻B樣條曲面。

u∈[k,k+1],k=2,3,…,m,

v∈[l,l+1],l=2,3,…,n

(7)

其中，dij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)為控制點(diǎn)；-1≤α,β≤1為形狀參數(shù)。

同樣，采用局部參數(shù)t,s可以表示為如下形式：

l=2,3,…,n

(8)

其中

(9)

(10)

分別取t=0,s=0；t=0，s=1；t=1，s=0；t=1;s=1時(shí)，可得曲面片Ckl(t,s,α,β)四個(gè)角點(diǎn)的位置。

(11)

α)(2+β)dk-1,l-1+(2-α)(2-

β)dk-1,l]

(12)

(13)

α)(2+β)dk,l-1+(2-α)(2-

β)dk,l]

(14)

可以將角點(diǎn)Ckl(0,0,α,β)寫成如下形式：

(15)

其余角點(diǎn)類似。圖5為曲面片角點(diǎn)的形成過程。

圖5 曲面片角點(diǎn)的位置

特別地，分別取k=2,l=2;k=2,l=n;k=m,l=2;k=m,l=n，可得曲面四個(gè)角點(diǎn)的位置。

β)d10+(2-α)(2-β)d11]

(16)

β)d1,n-1+(2-α)(2-β)d1,n]

(17)

(18)

(2+α)(2-β)dm-1,n+(2-

α)(2+β)dm,n-1+(2-α)(2-

β)dm,n]

(19)

(20)

其中t,s∈[0,1],k=2,3,…,m,l=2,3,…,n

可以求出

(21)

(22)

(23)

同理

(24)

上述結(jié)果說明，類3×3次均勻B樣條曲面沿等參數(shù)曲線跨界G1的。

圖6表示參數(shù)α，β對曲面形狀的影響。左圖是α=0.5，β=-0.5時(shí)的曲面，右圖是α=-0.5，β=0時(shí)的曲面?？梢钥闯?，在不改變控制點(diǎn)的情況下，通過改變參數(shù)α，β的值可達(dá)到對曲面形狀的調(diào)節(jié)作用。

圖6 參數(shù)α，β對曲面形狀的影響

4 結(jié)束語

通過定義帶形狀參數(shù)的類三次均勻B樣條基函數(shù)，進(jìn)而定義類三次均勻B樣條曲線與3×3次均勻B樣條曲面，不僅保留均勻B樣條曲線曲面的原有特點(diǎn)，而且為形狀調(diào)節(jié)增加了額外的手段。由于形狀參數(shù)的直觀易操作，已成為工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)人員用來調(diào)節(jié)曲線曲面形狀的實(shí)用方法。事實(shí)上，對于準(zhǔn)均勻B樣條曲線曲面以及工程中應(yīng)用更為廣泛的兩端固支的B樣條曲線曲面，也可以尋求相似的擴(kuò)展方法，使其更加適合工程應(yīng)用。而更為重要的是，文中方法對于研究非均勻B樣條曲線曲面的擴(kuò)展具有一定的借鑒作用，這將是下一步的主要研究工作。

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