美妙實用的分形幾何

何玲

分形幾何是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學(xué)新分支，它研究的是廣泛存在于自然界和人類社會中一類沒有特征尺度卻有自相似結(jié)構(gòu)的復(fù)雜形狀和現(xiàn)象，它與歐氏幾何不同。歐氏幾何是由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中創(chuàng)立的，它是關(guān)于直覺空間形體關(guān)系分析的一門學(xué)科，它研究的是直線、圓、正方體等規(guī)則的幾何形體，這些形體都是人為的。

但是，“云彩不是球體、山嶺不是錐體、海岸線不是圓周”。自然界的眾多形狀都是如此的不規(guī)則和支離破碎。對這些形狀的認(rèn)識，歐幾里得并未能給后人留下更多的啟示，傳統(tǒng)的歐氏幾何在它們面前顯得那樣的蒼白無力、對大自然的這種挑戰(zhàn)，兩千多年來，激勵著一代又一代的數(shù)學(xué)家上下求索，探尋從歐氏幾何體系中解放出來的道路。終于在1975年，曼德布羅特發(fā)表了被視為分形幾何創(chuàng)立標(biāo)志的專著《分形：形、機遇和維數(shù)》。從此，一門嶄新的數(shù)學(xué)分支一一分形幾何學(xué)躋身于現(xiàn)代數(shù)學(xué)之林。

何為分形幾何學(xué)？

分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的新幾何學(xué)，但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。相對于傳統(tǒng)幾何學(xué)的研究對象為整數(shù)維數(shù)，如零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體乃至四維的時空，分形幾何學(xué)的研究對象為分?jǐn)?shù)維數(shù)，如0.54、1.26、2.78等等;分?jǐn)?shù)維數(shù)反映了復(fù)雜形體占有空間的有效性，它是復(fù)雜形體不規(guī)則性的量度。事實上，分形幾何更加趨近復(fù)雜系統(tǒng)的真實屬性和狀態(tài)描述，更加符合客觀事物的多樣性和復(fù)雜性。

分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)不變。這有點像我們平時所說的“窺一斑而知全豹”。分形幾何學(xué)作為當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科，它的出現(xiàn)，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義。

不規(guī)則現(xiàn)象普遍存在

經(jīng)過四十多年的開拓和發(fā)展，分形研究現(xiàn)已深入到各個科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)、哲學(xué)、地學(xué)、醫(yī)學(xué)、物理學(xué)、語言學(xué)、材料科學(xué)、計算機科學(xué)等眾多領(lǐng)域，甚至在電影、美術(shù)和書法等藝術(shù)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，對現(xiàn)代科學(xué)產(chǎn)生了至為深遠(yuǎn)的影響，所以美國物理學(xué)大師約翰·惠勒說：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人！”由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何是描述大自然較普遍現(xiàn)象的一門幾何學(xué)。正如中國知名學(xué)者周海中所言：“分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，從而改變了人們理解自然奧秘的方式;可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)，對它的研究也極大地拓展了人類的認(rèn)知疆域。”

向文化、藝術(shù)領(lǐng)域滲透

分形幾何除對科學(xué)產(chǎn)生深刻影響外，還對文化領(lǐng)域產(chǎn)生了重要影響，如在上世紀(jì)70年代后期分形藝術(shù)十分流行，尤其曼德爾布羅特的集合圖形成了一種文化符號，被大量印制在文化衫、棒球帽和帆布包上。英國《自然》雜志曾經(jīng)評選出“2009年度十大科學(xué)圖片”，由數(shù)學(xué)“極客”丹尼爾·懷特運用計算機繪制出來的曼德爾布羅特集合三維圖位居第三。

另外，分形藝術(shù)中優(yōu)美豐富的圖形可以應(yīng)用到各種布局設(shè)計中，如舞臺設(shè)計、園林設(shè)計、建筑設(shè)計、器型設(shè)計等。分形藝術(shù)以一種全新的藝術(shù)風(fēng)格展示給人們，使人們認(rèn)識到該藝術(shù)和傳統(tǒng)藝術(shù)一樣具有和諧、對稱等特征的美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。可以說，分形幾何搭起了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁，也展示了當(dāng)代文化藝術(shù)的風(fēng)貌。（編輯/任偉）