關(guān)于二次函數(shù)綜合題的探究與思考

程艷

[摘? 要] 以二次函數(shù)為背景的綜合題，一般借助函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)建立與幾何圖形、圖形運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，使問題形式多樣化. 掌握學(xué)習(xí)方法，參透函數(shù)知識(shí)，總結(jié)解題策略是突破綜合題的關(guān)鍵，本文以一道二次函數(shù)綜合題為例，進(jìn)行解題探析.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);綜合題;數(shù)形結(jié)合;平移;幾何;策略

問題背景解讀

二次函數(shù)是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的延伸學(xué)習(xí)，也是代數(shù)與幾何相結(jié)合的代表性內(nèi)容，對(duì)于該內(nèi)容的學(xué)習(xí)從兩個(gè)方面進(jìn)行：一是函數(shù)表達(dá)式，二是函數(shù)的圖像. 二次函數(shù)的表達(dá)式可以視為二元二次方程，求解函數(shù)參數(shù)的過程可以視為是解方程組的過程;而二次函數(shù)的圖像具有自身的特性，如開口方向和單調(diào)性，并且其性質(zhì)與函數(shù)的參數(shù)有著直接的關(guān)系，也是初中階段研究的重點(diǎn).

中考對(duì)于二次函數(shù)的考查通常以綜合題的形式進(jìn)行，并且緊抓其幾何與代數(shù)的相融性，以直角坐標(biāo)系為載體，借助點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)建兩大知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系. 近幾年的中考二次函數(shù)綜合題涉及的幾何圖形有三角形、圓、矩形、菱形、平行四邊形等，融合了平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等內(nèi)容，考查坐標(biāo)求值、線段比例、面積構(gòu)建、圖形構(gòu)造等問題，對(duì)其進(jìn)行深入探究具有十分重要的意義.

考題解例示范

二次函數(shù)綜合題的復(fù)雜不僅在于其計(jì)算過程的復(fù)雜，更在于解題的分析過程，以涉及平移并結(jié)合幾何圖形的二次函數(shù)題為例，需要把握函數(shù)解析式與圖形之間的坐標(biāo)聯(lián)系，緊抓平移特性開展解題探索，下面對(duì)2018年上海市的二次函數(shù)壓軸題進(jìn)行分析.

（2018年上海市中考卷第24題）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= -1/2x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）與B（0，5/2），點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上且位于點(diǎn)C的下方，將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C正好落在拋物線的點(diǎn)P處.

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）求線段CD的長(zhǎng);

（3）將拋物線平移，使得點(diǎn)C與原點(diǎn)O相重合，此時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E處，點(diǎn)M落在y軸上，如果以四點(diǎn)O，M，E，D為頂點(diǎn)的四邊形面積為8，試求點(diǎn)M的坐標(biāo).

破題第一招——細(xì)致讀題，標(biāo)畫提煉

一般函數(shù)壓軸題的題干文字?jǐn)⑹鲚^多，關(guān)鍵的條件均隱含在其中，因此在讀題時(shí)需要放平心態(tài)，集中注意力. 讀題可以分兩步進(jìn)行：第一步是全題通讀，標(biāo)注其中的關(guān)鍵詞語;第二步是條件提煉，即關(guān)注題干描述函數(shù)圖像的詞語，從中提煉拋物線的特征，如開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸等，通過這樣的細(xì)致讀題來構(gòu)建二次函數(shù)的框架.

破題第二招——構(gòu)建模型，理清思路

求解二次函數(shù)最為有效的方法是構(gòu)建特定的模型，問題的分析應(yīng)建立在具體模型上. 如求解二次函數(shù)的表達(dá)式應(yīng)根據(jù)待定系數(shù)法，構(gòu)建“點(diǎn)坐標(biāo)——方程組——函數(shù)參數(shù)”的模型;求解線段長(zhǎng)應(yīng)把握幾何與代數(shù)的聯(lián)系性，構(gòu)建“幾何性質(zhì)——點(diǎn)坐標(biāo)——線段長(zhǎng)”的模型，或者基于方程思想構(gòu)建求解幾何線段的函數(shù)方程;而求解圖形面積問題時(shí)，則需要構(gòu)建研究圖形的面積模型，將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).

破題第三招——有理有據(jù)，有序全面

數(shù)學(xué)解題過程講求“有理有據(jù)，有序全面”八字原則，“有理有據(jù)”即分析時(shí)必須依據(jù)基本的數(shù)學(xué)原理和性質(zhì)，所進(jìn)行的推導(dǎo)必須在教材中有出處，尤其是解函數(shù)綜合題，對(duì)題干條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)都必須有依據(jù). 而“有序全面”則指的是在對(duì)問題進(jìn)行拆解、結(jié)論推演時(shí)必須按照一定的次序，遵循一定的邏輯，并且問題分析要全面，做到不遺漏不重復(fù). 這與命題的過程和原則是一致的，必要時(shí)可以采用分類討論的方法，確保所獲得的答案全面準(zhǔn)確.

考題解后思考

上述考題以旋轉(zhuǎn)、平移作為載體，主要考查了二次函數(shù)表達(dá)式、平移性質(zhì)、求解線段長(zhǎng)和幾何面積模型等內(nèi)容. 從解題過程的思想方法來看，考查了方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，理順幾何與函數(shù)之間的聯(lián)系是突破考題的關(guān)鍵，下面進(jìn)一步反思解題，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

1. 透視函數(shù)知識(shí)，數(shù)形角度思考

二次函數(shù)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)，其幾何與代數(shù)的雙重性質(zhì)往往是中考?jí)狠S題的命題素材，對(duì)于二次函數(shù)知識(shí)應(yīng)該從幾何與代數(shù)兩個(gè)視角進(jìn)行概念、性質(zhì)透視. 如對(duì)于二次函數(shù)的表達(dá)式學(xué)習(xí)應(yīng)結(jié)合代數(shù)的多元方程，而對(duì)于函數(shù)性質(zhì)特征的學(xué)習(xí)則需要結(jié)合對(duì)應(yīng)的圖像，可根據(jù)圖像的變化理解二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向、單調(diào)性和最值. 同時(shí)，對(duì)于二次函數(shù)的學(xué)習(xí)還需要進(jìn)行數(shù)形對(duì)照，如結(jié)合圖像理解參數(shù)a的大小和符號(hào)，根據(jù)圖像理解頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸的關(guān)系等. 二次函數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是建立一個(gè)完善的研究體系，然后采用合理的方法透視內(nèi)容.

2. 緊抓知識(shí)聯(lián)系，構(gòu)建分析策略

二次函數(shù)綜合題是中考的重點(diǎn)題型，上述題目將平面幾何、圖形運(yùn)動(dòng)相結(jié)合只是其中較為常見的形式，求解這類綜合問題的關(guān)鍵是抓住知識(shí)之間的紐帶，從知識(shí)聯(lián)系性角度突破. 如函數(shù)與平移、旋轉(zhuǎn)問題則需要結(jié)合圖形運(yùn)動(dòng)的不變性，從動(dòng)態(tài)問題中提煉不變條件和變化規(guī)律，建立函數(shù)運(yùn)動(dòng)的模型，探究點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律;而對(duì)于函數(shù)與幾何圖形結(jié)合問題，則應(yīng)基于數(shù)形結(jié)合研究方法，依據(jù)“圖像←→特征←→線段←→點(diǎn)坐標(biāo)←→函數(shù)表達(dá)式”的解題策略進(jìn)行單向或多向探究，充分利用“點(diǎn)坐標(biāo)”的銜接作用對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 對(duì)于函數(shù)中的幾何問題，可以結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)，基于方程思想構(gòu)建研究模型，通過解方程的方式實(shí)現(xiàn)求解. 解決函數(shù)綜合題實(shí)際上就是策略運(yùn)用和模型構(gòu)建的過程，掌握解題策略即可顯著提升解題能力.

寫在最后

任何知識(shí)都不是孤立存在的，這也是函數(shù)綜合問題命制的背景，因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次函數(shù)知識(shí)時(shí)要將其放在整個(gè)知識(shí)體系中，把握二次函數(shù)的特性進(jìn)行多視角的知識(shí)透視梳理，只有這樣才有利于后續(xù)的知識(shí)遷移、拓展學(xué)習(xí)，也有利于構(gòu)建二次函數(shù)綜合題的解題策略.