嚴加審查 巧施妙法

陳學俊

基本不等式作為唯一一個用來重點研究的不等式，其重要性不言而喻，是高考的一個重要考點，更是求函數最值的一個重要工具.運用基本不等式求最值時，要嚴加審查基本不等式成立的三個條件：一正二定三相等.如若忽略了其中任何一個條件，都有可能導致解題錯誤.此外，在解題時，我們經常會碰到不便于直接運用基本不等式的情況，可以嘗試對題中式子進行一些巧妙的轉化與變形.

一、化負為正

目標式有著明顯的能運用基本不等式的結構特征，但含未知數的項為負值，此時我們需要“化負為正”；而且一般是要求最大值，正好滿足添加負號后的基本不等式.

例1 f求（x）=1+lg_x+1/lg_x（0x、lg_xx<0，不滿足基本不等式使用時各項必須是正數這一條件，因此不能直接運用基本不等式，可以加上負號將其中的關鍵項變為正值.

解 因為Oxxx>o，-1/lg_x>0.

需要注意的是，添加負號時必須保持整體值的不變，不能盲目地追求正值；另外，由于添加了負號，實際上基本不等式只能求最大值，最小值需要另謀他法.

二、巧湊定值

審查完正負性，我們需要考慮“定”，也就是其“和”或“積”必須為定值.要不然就會從一個未定的量轉化為另一個未定的量，成為毫無意義的操作.當“和”或“積”不是定值時，我們可以將含未知數的項進行拼湊，湊出定值來，

例2 已知0

思路分析 易知需構造某個和為定值，可考慮把括號內外x的系數變成互為相反數.

解法1 因為o0，

所以y=（1-2x）=1/2·2x·（1-2x）≤1/2·[（2x+（1-2x））/2]²=1/8， （利用了ab≤（（a+b）/2）² ）

當且僅當2x=1-2x，即x=1/4時，取得等號，

所以當x=1/4時，函數y取得最大值1/8.

解法2 因為o0，

所以y=x（1-2x）=2x·（1/2-x）≤2·[（x+（1/2-x）/2）]²=1/8，

當且僅當x=1/2-x，即x=1/4時，取得等號.

所以當x=1/4時，函數y取得最大值1/8，

例3 已知x>0，y>o，且1/x十4/y=1，求x+y的最小值，

解法1

解法2

三、遇分則離

1.配分了，離分式

對于分子次數比分母高的分式，可先對分子進行配湊，使之出現與分母相同的項，然后分離得到可用基本不等式求解的結構.

例4 求y=（x²-2x+5）/（x-1） （x>1）的最小值.

思路分析可先將分子配湊出含有x-1的項，再將其分離.

2.除分了，離分母

對于分母次數比分子高的分式，可將分子、分母同除以分子，使分母出現可用基本不等式求解的結構.

例5 求y=x/（x²+9）（x>0）的值域.

思路分析 可先將分子、分母同時除以x，再將分母分離出來.

四、遇根平方

思路分析觀察式子的結構，可以看到（x-1）+（4-x）=3是個定值，所以將式子平方后，便可構造出可用基本不等式求解的結構.

以上幾種方法是運用基本不等式解決最值問題的常用方法.無論是遇分則離，還是遇根平方等方法，其目的只有一個，那就是構造出和為定值或者積為定值的兩項，然后才可用基本不等式.構造出可用基本不等式的結構，是解決此類最值問題的關鍵所在.