“難”與“易”

繆鑫

我國古代哲學名著《老子》中有這樣一段話：“有無相生，難易相成，長短相形，高下相傾，音聲相和，前后相隨.”意思是說：有與無，難與易，長與短，高與低，音與聲，前與后，所有這些對立的雙方，都是相互依存著的，沒有甲方就沒有乙方，反之亦然.同學們在數(shù)學學習的過程中是否也發(fā)現(xiàn)“難”與“易”是相對的，難可以轉(zhuǎn)化為易，易也可變化為難，它們是相輔相成的呢？計算的難與易，試題的難與易，學習內(nèi)容的難與易等等……下面以不等式為例和同學們交流數(shù)學中的“難”與“易”.

一、題目條件（或結(jié)論）的難與易

在學習基本不等式時，經(jīng)常會遇到題目條件（或結(jié)論）給出的形式很復(fù)雜的情況，難以下手.其實我們只要仔細地觀察條件（或結(jié)論）中式子的結(jié)構(gòu)，進行適當變形，就可以發(fā)現(xiàn)問題的突破口.

例1 若a，b，c>0，且a²+2ab+2ac+4bc=12，求a+b+c的最小值.分析一條件a²+2ab+2ac+4bc=12比較復(fù)雜，要求的a+b+c比較簡單，表面看上去沒有聯(lián)系，但我們仔細觀察a²+2ab+2ac+4bc，發(fā)現(xiàn)是可以因式分解的.因此我們將條件變形為（a+2b）（a+2c） =12，而（a+2b）+（a+2c）=2（a+b+c），運用基本不等式即可解決.

解a²+2ab+2ac+4bc=a（a+2b）+2c（a+2b）=（a+2b）（a+2c）=12.

分析二條件中的項是二次的，結(jié)論是一次的，那么我們考慮將結(jié)論變?yōu)槎涡问剑海╝+b+c）²，研究它與條件的關(guān)系，也可以快速找到解決的辦法，

解 （a+b+c）²=a²+b²+C2²+2ab+2ac+2bc=（a²+2ab+2bc+2ac）+b²+c²≥（a²+2ab+2bc+2ac）+2bc=a2+2ab+2ac+4bc=12.（當且僅當b=c（時取等號）

解題，就是在條件和結(jié)論之間架起橋梁.所謂“難”題，實際上就是不能在短時間內(nèi)迅速發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論的關(guān)系，在不等式中，我們往往需要對條件或結(jié)論中的式子進行變形.如何變就是解題的關(guān)鍵，也是從“難”到“易”的轉(zhuǎn)化.因此我們要緊密聯(lián)系條件和結(jié)論，不能一味地揪住條件（或結(jié)論）不放，應(yīng)該仔細觀察各個關(guān)系式的結(jié)構(gòu)，瞄準目標，適當變形，轉(zhuǎn)換成與條件（或結(jié)論）接近的結(jié)構(gòu)，“有的”變形.

二、題目內(nèi)容的難與易

在不等式中有的題目條件相同，要求的結(jié)論看似也差不多，但處理的方法卻大相徑庭，難易相差懸殊，因此我們要仔細讀題，找準解題的關(guān)鍵點.例2 已知函數(shù)f（x）=log₂（²-2kx+k）.

（1）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍；

（2）若函數(shù)f（x）的值域為R，求實數(shù)k的取值范圍.

分析 這兩個小題的載體都是同一個函數(shù)，是由對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合的函數(shù).第一小題已知定義域為R，實質(zhì)就是不等式x²-2kx+k>0恒成立，而第二小題已知值域為R，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)t=x²2kx+k取遍大于O的一切實數(shù).

解（1）因為函數(shù)f（x）的定義域為R，所以不等式x²-2kx+k>0對一切實數(shù)恒成立.

所以△=4k²-24x=k<0，解得0

（2）令t=x²-2kx+k，

則由函數(shù)y=log²t的值域為R可知t應(yīng)取遍大于O的一切實數(shù)，

即函數(shù)t=x²-2kx+k的圖象與x軸有交點，

所以以△=4k²-24x=k<0≥0，解得k≤0或k≥1.

很多時候，對相近知識的熟悉程度會影響解題的難度.很多同學對恒成立問題掌握比較透徹，因此處理定義域為R的問題時得心應(yīng)手，但對復(fù)合函數(shù)的值域掌握不太牢固，所以感覺比較困難.

三、解題心理的難與易

認知心理學指出，根據(jù)皮亞杰的研究，認知的本質(zhì)就是適應(yīng)，即兒童的認知是在已有圖式的基礎(chǔ)上，通過同化、順應(yīng)和平衡，不斷從低級向高級發(fā)展的，也就是說我們解決問題的心理適應(yīng)都是從易到難.因此在解決難題時可以根據(jù)條件將它分解成若干個容易解決的問題，或者解決完一個簡單問題后，可以進行解題后的反思，將容易題通過條件的變式變化為復(fù)雜問題.

例3 設(shè)為實數(shù)，函數(shù)峰f（x）=2x²+（c-a）/x-a/，當x>a時，求不等式f（x）≥1的解集.

分析 本題是2009年江蘇高考卷的第20題的第3問，應(yīng)該是一道難題.但我們仔細分析可以發(fā)現(xiàn)，本題實際上就是解一元二次不等式在給定區(qū)間的解集，而我們可以先不考慮定義域，解一元二次不等式在定義域為R上的解集，然后再討論解集端點和區(qū)間端點的大小.

略解 由x∈（a，+∞）時，f（x）≥1得3x²-2ax+a²-1≥0，令g（x）=3x²2ax+a²-1，△=4a²-12（a²-1）=12-8a².