簡與繁

劉紅霞

簡與繁，是對比強(qiáng)烈的兩個字，從辯證的角度看，它們是矛盾對立的統(tǒng)一體，兩者之間存在著相互對立、相互依存、相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系.簡到繁，比如無理數(shù)的發(fā)展，到實數(shù)系的建立經(jīng)歷了很長的時間才能做到；繁要做到簡，需要有很大的智慧，這是發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)的過程.其實在我們平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也有著簡與繁的對立統(tǒng)一.

一、數(shù)學(xué)中的繁與簡

數(shù)學(xué)來源于生活，從最早的計數(shù)到現(xiàn)代數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)這門課程的建立也是經(jīng)過繁復(fù)的思維的，而正是這思維的繁復(fù)才創(chuàng)造了人類的文明.比如說，在我們今天看來比較簡單的實數(shù)系的建立，經(jīng)歷了幾千年，這是曲折而漫長的過程，主要因為數(shù)學(xué)必須要有嚴(yán)密的推理.正如電影《知無涯者：天才拉馬努金的一生》中的數(shù)學(xué)家拉馬努金的導(dǎo)師、著名數(shù)學(xué)家哈代跟他說的，只有結(jié)論遠(yuǎn)遠(yuǎn)是不夠的，不給出證明，是沒辦法公布于世的.確實如此，不給出證明，僅僅只能作為猜想存在！知識體系的建立需要繁復(fù)的思維，而我們作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者來說，也是常常通過經(jīng)歷繁復(fù)的思維才能得到我們想要的所謂的簡的結(jié)論，

我們以不等式求最值為例，來看一道經(jīng)典題目：

例1 已知x，y>0，1/x+4/y=8，求x+y的最小值.

很明顯，這種解法是錯的，其根本原因在于沒有用好用基本不等式求最值時的口訣：“一正二定三相等”，沒有注意到不等式兩次取相等的情況不一樣.于是我們就開始嘗試新的方法，那么這個新的方法怎么想到呢？有同學(xué)就記住了老師講的“1”的代換，這其實是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，僅僅這樣，我們這道題是會做了，但是以后遇到其他的還是不會.于是，就需要我們多角度地分析這樣處理的原因.分析的過程之于這道題好像是沒有必要的，但是“知其然而知其所以然”，我們的思維才能得到拓展，我們的學(xué)習(xí)才會真正地達(dá)到“簡”.正如巴烏斯托夫斯基所說的：“要知道得詳盡，才能寫得簡練.”我們來看這道題，要求的最值，那很明顯是具體數(shù)值，而我們要求的x+y，式子的左邊是一次的，而已知的1/x+4/y是-1次冪的，那么兩個式子的乘積不就是0次了嗎？然后自然而然想到了將兩個式子相乘，從而得到的項從次數(shù)上來講全是o次的，再運(yùn)用基本不等式就可以解決了.

這樣的思考過程雖然比記住這種結(jié)論更繁，但是學(xué)會了這樣觀察式子的結(jié)構(gòu)的方法，可以幫助我們解決不少相關(guān)的問題，這樣可以達(dá)到舉一反三，觸類旁通，豈不就是“簡”？所以，繁復(fù)的思考創(chuàng)造了簡的結(jié)論，而且正是這樣一個思考的過程會促使我們多角度地思考問題，從而較快地提高我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，

二、簡是本質(zhì)

在解題時，我們要注意智慧地找到問題的本質(zhì)，不能被式子的外殼所迷惑，必須保持清醒的頭腦.一旦尋找到了問題的本質(zhì)，解題對于我們來說也就不難了.

例2 （1）設(shè)x>0，y>0，4x+y=8xy則x+y的最小值為

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（2）若a>o，b>o，且1/（2a+b）+1/（b+1）=1，則a+2b的最小值為

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本例題（1），我們觀察到4x+y=8xy式子的兩邊次數(shù)不同，因此可以兩邊同除以xy，轉(zhuǎn)化成例1的問題，迎刃而解.對于題（2），很多同學(xué)一開始接觸的時候可能會一籌莫展，1/（2a+b）+1/（b+1）=1的左邊分母表現(xiàn)得并不“協(xié)調(diào)”.但是再從次數(shù)上看，不也是“知-1次求1次式”嗎？因此我們可以進(jìn)行調(diào)整、配湊，將原式變形為1/（2a+b）+3/（3b+3）=1這樣分母相加就得到了2a+43+3=2（a+2b）+3的形式，即可以用同樣的方法求得a+2b的最小值.但是這樣的方法看起來頗繁，我們繼續(xù)思考，為什么會這么繁？因為分母看著繁，很揪心，我們嘗誠進(jìn)行換元，即設(shè)2a+b=s，b+l=t，則1/（2a+b）+1/（b+1）=1可以轉(zhuǎn)化為1/s+1/t=1，則a+2b=（s+3t-3）/2問題又轉(zhuǎn)化為類似例1的問題.所以通過尋找繁的問題的根源，可以找到簡的本質(zhì)，從而有效地解決數(shù)學(xué)問題.

三、繁是相對的

我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時經(jīng)常會遇到一類題的通解通法，這本身是對所學(xué)知識進(jìn)行歸納的一個過程，但是涉及具體問題時經(jīng)常會覺得這樣很繁.但是，繁是相對的，有通解通法總比一籌莫展、糊里糊涂，不知從何下手來得好.而且通解通法做多了，熟練了，不也達(dá)到了簡嗎？當(dāng)然，我們在解不等式時也要具體問題具體分析，不是一成不變的，要學(xué)會變通，在繁的過程中掌握一些簡的本質(zhì).

例3 解不等式：（1）3x+2>0；（2）x²-3x+2>o；（3）（x-1）/（x-2）>o.

解題（1）是利用不等式的性質(zhì)，解題（2）是借助其對應(yīng)的二次函數(shù)圖象，解題（3）是將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式.我們一開始接觸這類題時可能覺得很簡單，以致于老師在講解不等式的通法——數(shù)軸標(biāo)根法時，覺得很繁，不實用，但是遇到高次的、分式或者含有參數(shù)的，標(biāo)根法可能要來得簡單一些.而且通法還有一個好處就是每次都用這個方法解，等同于在不停地鞏固，不斷地熟化.長時間的鞏固熟化必然會使得這樣的方法變得簡單起來，做多了、熟練了，何嘗不是一種簡呢？所以繁是相對的.當(dāng)然，我們在解不等式組時還要注意不等式的相互制約，有時我們又可以直接運(yùn)用不等式的性質(zhì).來看這樣一道題：

解不等式組x>0，1/x>1.很明顯，這樣的例題是不需要用數(shù)軸標(biāo)根法的，因為有x>0，因此第二個式子只要直接乘x就夠了.

因此，繁和簡是相對的，繁與簡應(yīng)適時地變化，我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要認(rèn)識到通法的繁其實是為了熟練地簡，學(xué)習(xí)盡可能地做到繁與簡的統(tǒng)一，這樣我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會更好.endprint