隨機結構TMD系統風振響應的概率密度演化分析

周全+趙卿卿

摘要：本文采用概率密度演化方法，對比了隨機結構在無控和TMD控制時結構動力響應和概率密度。結果表明，設置TMD后結構的安全性與舒適性大大改善，TMD對結構參數隨機性具有一定的容錯性。概率密度演化方法計算量小，精度高，與其他方法相比可獲得更為精細的結構反應概率信息。

關鍵詞：調諧阻尼器；概率密度演化法；風振響應；隨機結構

0引言

工程結構在許多方面都包含著若干不確定因素，如材料參數、邊界條件、阻尼與剛度等均存在隨機性。這些隨機因素會對結構動力響應分析結果帶來不容忽略的影響，因此考慮結構參數的隨機性非常重要。調諧質量阻尼器的概念是1909年由Ormondroyd和Den Hartog首先提出（Ormondroyd J，et al，1928），最早于1977年應用于美國244m高的Hancock大廈。調諧質量阻尼器一般由附加慣性質量，彈簧和阻尼元件組成，因其構造簡單，易于安裝，維護方便，經濟適用，且無需外部能源，有著其他減震技術無可比擬的優點，廣泛受到科研工作者和工程界的青睞（Rohman A，1984；王肇民，1994；李春祥，1999）。

目前對TMD的研究多為TMD的優化設計以及工程應用，主要關注確定性結構的動力響應對比；即便考慮隨機性，也大都限于激勵的隨機性，對結構及減震裝置的隨機性分析不多。李杰提出的隨機結構分析的概率密度演化方法可給出結構概率密度的時變過程，有助于深入了解結構的隨機性（李杰等，2003；J.Li，et al，2004）。目前有關使用概率密度演化方法對結構動力響應研究的文獻尚未見諸于隨機結構TMD系統。本文采用線性濾波法中的自回歸模型模擬作用在結構上的脈動風激勵時程，將概率密度演化方法應用于隨機結構—TMD系統，并考慮結構剛度與阻尼的隨機性，以及TMD對結構概率密度的影響規律。

1 運動方程

脈動風荷載作用在結構上引起的振動，可視為是多點平穩隨機激勵下結構的隨機振動問題。當結構在任意第j層安裝一套TMD裝置，假定TMD質量為md、剛度為kd、阻尼為Cd。結構在風荷載作用下的運動微分方程為： （1）

式中 為TMD對結構的作用力，表達式為：

（2）

TMD的運動方程為： （3）

式中xd和xj分別為TMD與結構第j層質量相對于地面的位移。

2脈動風模擬

線性濾波法中的自回歸模型因計算量小、速度快，廣泛用于隨機振動和時間系列分析中（胡廣書，1997；P M Mignolet，et al，1987；S H Jeong，et al，1997；J S Owen，et al，2001）。本節采用線性濾波法中的自回歸模型模擬作用在結構上的脈動風激勵時程。

模型階次估計方法多基于估計預測誤差功率。通常估計的預測誤差功率隨階次的增加而減小，但單純追求最小預測誤差求得的階次往往偏高，出現過擬合現象，這雖然提高了譜估計的分辨率，但會產生虛假譜峰，并且估計方差也會增大，同時階數過高也會增加計算量，影響運算速度；反之，如果選取的階次過低會導致譜估計平滑，不能達到精度要求。根據試算，本文AR模型階數取為p=5。

脈動風荷載P的功率譜密度函數可用矩陣表示為： （4）

式中 為n×n階常量矩陣，其元素為： （5）

式中AiAj為i，j點的迎風面積。

由于脈動風壓均值為零，其協方差矩陣等于互相關矩陣，對R進行Cholesky分解可得：

（6）

式中矩陣C為一下三角矩陣。

順風向脈動風壓向量T可表達為：

（7）

式中，u（t）為n個互不相關的高斯隨機過程組成的向量。

利用脈動風壓乘以迎風面積，就可以得到式（1）中的脈動風激勵時程 P（t）。根據我國規范，一般取Davenport脈動風速譜作為激勵譜Sij。當已知結構各點高度處的平均風速Vj風荷載體型系數Us及迎風面積Aj后，就可以得出自荷載譜：

（8）

如果考慮各個隨機激勵之間的相關性，則引入相關系數，便可形成荷載功率譜矩陣。

3隨機結構風振響應

一旦自荷載譜（8）已知，在構造的虛擬隨機過程激勵下，可很方便得到TMD相對于結構的位移為：

（9）

TMD相對于結構的位移均方差為：

（10）

式中， （11）

通過求解模態響應矢量z的協方差矩陣，可以得到結構每一質點的加速度響應方差為：

（12）

即可求出加速度均方差響應及TMD相對于第j質量層加速度均方差 。式中L為對角元素均為1的下三角矩陣，rj第i振型參與系數；

分別為第j振型向量； 為結構的阻尼比； 為TMD的阻尼比； μ為TMD與結構的質量比。q為所取振型數，當只考慮第一振型時，取q=1。

4概率密度演化方程

方程（1）及其初始條件構成的結構動力學正分析問題一般是適定的問題，其解存在、唯一且與隨機量有關。因此由方程（1）及其初始條件可得到結構的位移反應。當求出了隨機結構的位移響應，隨機結構反應的概率密度演化方程

（13）

可利用確定性結構動力分析與有限差分的TVD格式進行數值求解，從而可以得到下式：

（14）

式中 為結構的隨機參數，本文選取剛度和阻尼作為結構的隨機參數， 為與 有關

（15）

式（15）是為給定 時結構的速度反應。根據式（13）即可給出任意時刻的概率密度函數。

同樣，可以根據下式

（16）

求解任意時刻速度反應的概率密度函數。同理可得任意時刻加速度反應的概率密度函數。

5仿真分析

本文選取某10層框架結構模型作為算例，該框架結構層高為3m，迎風面長度是32m。結構每層質量為4.0×105kg，剛度為2.0×108N/m。阻尼采用Rayleigh阻尼假定，其比例常數由結構前2階振型阻尼比（均為0.05）確定。該結構位于某市江口，其10年的基本風壓取0.45kN/m2，考慮結構剛度服從正態分布，結構自振頻率均值μf和和剛度均值μk分別為0.5319Hz和2.0×108N/m，變異系數為δ=10%。在結構頂層設置TMD以控制結構風振響應。TMD慣性質量為md=1.3×105kg，彈簧剛度kd=1.452×106N/m，阻尼系數為cd=9.4405×104Ns/m。

圖3-4為無控和TMD控制時結構減振效果對比圖。圖3中當設置TMD后，結構各層層間位移減小約1/3，首層位移從0.5764mm減至0.3567mm。圖4中設置TMD后結構各層的最大加速度反應從三角形分布變為近似矩形分布，結構頂層的加速度反應降低了56.4%。設置TMD后結構的動力反應減小明顯。

計算隨機結構的概率密度時須對隨機源選擇有代表性的離散點。本文根據 法則，即在均值左右兩側 范圍內等間距選取15個點，試算表明計算的概率密度選點曲線與理論曲線基本吻合，理論上涵蓋了98.76%的隨機源概率密度，具有很高的精度，從而可作為下文數值計算的代表點。為了檢驗概率密度演化分析方法的有效性，本文還采用Monte Carlo法作為對比。由兩種方法得到的無控和TMD控制時結構首層位移和頂層加速度的最大響應均值對比見表1，其相應的響應標準差時程對比見圖5-6。

表1和圖6～7表明，使用概率密度演化方法得到的結構最大響應均值和Monte Carlo模擬的結果非常接近，這表明概率密度演化方法具有很高的計算精度。此外，Monte Carlo模擬需要計算時長94s，而概率密度演化模擬僅需8s，這充分體現了概率密度演化方法的高效性。

圖7-8反映了隨機結構無控和TMD控制時其響應的概率密度對比。從圖中可以看出無控時概率密度曲線分布較寬，概率密度較小，結構在風載激勵下的安全性也因此降低；而TMD控制下結構反應的概率密度曲線分布較窄，概率密度較大，這表明TMD的減振效果明顯。圖9中在結構自振頻率隨機的情況下，TMD控制時結構隨機位移響應最大值落在均值響應附近的概率較無控時大為增加，隨機結構反應呈現典型的概率密度演化性質。雖然在本例中假定結構的隨機參數符合正態分布，但是結構反應的概率密度曲線與正態分布相去甚遠，無控時多峰現象比較嚴重，這表明無控時概率密度演化比較頻繁。

從圖10-13可以看出，當結構具有隨機剛度與隨機阻尼參數時的位移響應極值概率密度曲線是一樣的，這也驗證了采用Rayleigh阻尼假定時，結構阻尼隨機和剛度隨機時結構的位移響應具有同樣的統計規律， TMD控制下結構的動力響應均值有一定程度減小，但并不明顯，這體現了TMD對結構參數隨機具有一定的容錯性能。

對比圖8和圖10、12可看出，當結構自振頻率隨機時，其概率密度函數曲線較結構自振剛度隨機時變得窄和尖，因而此時結構頂層的最大加速度響應落在均值加速度響應的概率增加，這也證明，TMD對于結構自振頻率的敏感度比對結構剛度的敏感度要低，因此在實際設計TMD的時候應該嚴格控制結構主體在施工中出現的剛度變化。

6結論

本文采用概率密度演化方法，對隨機結構TMD系統在隨機脈動風荷載下的動力響應進行了研究，并與Monte Carlo方法作了對比，得出如下結論：由于結構的隨機性以及TMD只能較好控制某一具有特定參數的結構，所以在結構設計中，TMD參數選取很重要；TMD對結構參數隨機具有一定的容錯性能，為以后TMD應用范圍拓展提供了理論支持；與Monte Carlo方法相比，概率密度演化方法計算量小，精度高，可獲得更為精細的反應概率信息，為后續基于可靠性理論進行TMD優化設計提供了一個快速實現的方法，這在實際工程應用中具有很重要的意義。

參考文獻：

（1）王肇民.電視塔結構TMD風振控制研究與設計[J].建筑結構學報，1994，15（5）：2-13.

（2）李春祥.地震作用下高層建筑TMD控制研究與設計[J].上海交通大學學報，1999，33（5）：746-749.

（3）李杰，陳建兵.隨機結構動力反應分析的概率密度演化方法[J]. 力學學報，2003，35（4）：437-442.

（4）胡廣書.數字信號處理—理論、算法與實現[M].北京：清華大學出版社，1997.