Magnus效應動力演示儀

王 仿,李 昊,英 模，王志鵬，王四海

(北京郵電大學 a.軟件學院;b.信息與通信工程學院c.計算機學院;d.理學院，北京 100876)

雖然Magnus效應已發現100多年,但真正深入地開展應用研究只是在近十幾年[1]. Magnus效應曾被用來借助風力推動船舶航行，用幾個迅速轉動的鉛直圓柱體代替風帆. 試驗是成功的，但由于不經濟，所以未被采用. 20世紀出現了大量的關于Magnus力的應用，尤其是在船舶上，如轉柱舵、風筒推進裝置、Magnus螺旋槳、Magnus減搖裝置等. 這些裝置增加了能源利用率，主要因為Magnus效應能夠利用某方向上的流體動能在其正交方向上產生力. 足球、排球、網球以及乒乓球等的側旋球和弧圈球的運動軌跡之所以有大的弧度也是起因于Magnus效應[2]. 為了獲得更直觀、更形象的Magnus效應效果，設計并制作了演示儀.

1 Magnus效應

Magnus效應以發現者Magnus命名，當旋轉物體的旋轉角速度矢量與物體飛行速度矢量不重合時，在與旋轉角速度矢量和平動速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產生橫向力，在橫向力的作用下物體飛行軌跡發生偏轉的現象稱作Magnus效應. 旋轉物體之所以能在橫向產生力的作用，是由于物體旋轉可以帶動周圍流體旋轉，使得物體一側的流體速度增加，另一側的流體速度減小[3].

根據伯努利定理，流體速度增加將導致壓強減小，流體速度減小將導致壓強增加，這樣就導致旋轉物體在橫向的壓力差，并形成橫向力. 同時由于橫向力與物體運動方向相垂直，因此該力主要改變飛行速度方向，即形成物體運動中的向心力. 用位勢流理論解釋，則旋轉物體的飛行運動可以簡化為“直勻流+點渦+偶極子”的運動，其中點渦是形成升力的根源. 在二維情況下，旋轉圓柱繞流的橫向力用儒可夫斯基定理來計算，即橫向力=來流速度×流體密度×點渦環量[4].

2 實驗儀設計

Magnus原理圖見圖1，旋轉的轉子會帶動周圍的空氣旋轉形成1層均勻環流，如果在此基礎上疊加直勻流就會造成轉子兩側產生速度差，由伯努利方程，就會產生壓強差，從而產生Magnus力. Magnus力本質上是通過轉子的旋轉利用流體的動能產生在其正交方向上的力.

演示儀實體模型見圖2，小車中間是轉子，左邊是涵道風扇. 轉子利用軟件3D建模，將質量減小到最小，然后3D打印，目的是保證筒壁各個部位都均勻；另外，由于制作工藝很難保證轉子質心在幾何中心，在內壁上同一高度均勻貼上4塊小磁鐵，再把其他小磁鐵按照不同的分配方式吸上去，通過觀測轉子旋轉時的抖動程度判斷哪種搭配方式能夠達到目標. 轉涵道風扇用于模擬自然風. 通過遙控器可以控制轉速和風速從而控制產生的Magnus力的大小. 為使演示效果達到最好，設計時讓小車空間利用率最大，并且用穩壓源供電，避免空間和重量的贅余. 現在小車能夠在Magnus力的驅動下以較快的速度做直線運動，演示效果比較直觀.

圖1 Magnus原理圖

圖2 演示儀實物俯視圖

在不影響演示效果的前提下，盡可能準確地采集物理參量.

1)風速儀：風力使得風速儀上面的螺旋槳受力轉動，產生變化的磁場，霍爾傳感器輸出信號，經過計算模塊顯示為風速V風.

2)轉速儀：轉速儀發出激光，轉子某處貼反光紙，當激光經過反光紙反射回轉速儀時輸出信號，經過計算模塊可以算出轉速n.

3)拉力傳感器：內部為惠斯通電橋，當其中的電阻應變片受到壓力F，長度或橫截面積發生改變，使得輸出電壓線性改變，通過定標可以得到電壓-壓力曲線. 實驗用的傳感器200 g，如果輸入電壓是5 V，那么滿量程輸出電壓為5 mV，初始電壓可能有略微的系統誤差，不過可以消除.

轉速是通過激光儀接受由貼在轉子上的反光紙反射回來的周期信號計算得到，然后近似到十位. 風扇輸出口風速的分布是不均勻的，所以將風速儀固定在某位置. 至于F，已經盡可能地消除了誤差，比如通過斜面來平衡阻力，避免在曲線中出現閾值的情況；在壓力傳感器上固定1根鐵棍，鐵棍的兩端引出尼龍扎帶與小車進行連接，兩點接觸能夠較大程度地避免在實驗中小車前進的方向發生變化. 通過上述改進示數已經比較穩定，但是還是存在波動，主要來源于轉子和風扇的電機產生的噪聲，只能在示數的波動中取平均值.

3 實驗結果與分析

先測量不同V風下不同n對應的F,再測量相同n下不同V風對應的F.

1)不同V風下F與n的關系

根據儒科夫斯基定理，得到的曲線應該是若干條斜直線，但是從實驗結果(圖3)來看，除了V風=11.9 m/s的曲線基本正相關，其他曲線都存在極大值，所以猜想，當V風小于某個值時，曲線就會出現極大值. 將下面幾條曲線的極值點標出，發現隨著V風的增加，極值點右移，而且經過擬合，發現極值點近似滿足nR=2.25V風，圖3中藍色點為實際極值點，豎線為據此式計算出的極值點，非常接近. 據此，猜測11.9 m/s曲線也應該存在極大值，只是實驗域太小沒有將極大值顯示出來.

圖3 不同V風時F與n關系圖

2)不同n下F與V風的關系

同樣，理論上得到的應該是若干條斜直線，而實際情況中上部若干條曲線都近似滿足正相關(圖4)，唯獨n=1 210 r/min曲線出現極大值，所以同樣推測，當n小于某個值時曲線會出現極值. 但是由于實驗中只看到極大值點，所以沒法推測極值點和n與V風的關系.

圖4 不同n時F與V風關系圖

3)F與nV風的關系

由得到的散點圖線性擬合，如圖5所示. 盡管散點的離散度很大，但是擬合直線截距很小，基本近似于1條正比例直線，這和理想情況是相吻合的.

圖5 F與nV風關系圖

4 結束語

Magnus效應動力演示儀可以使運動生物力學在流體課的教學上獲得更直觀、更形象的效果. 就理論研究方面，實際工程中有很多基于Magnus的應用，但是應用中普遍錯誤地認為要想產生更大的Magnus力，只要增加V風或者n就可以了，但是實驗證明了當V風或者n增加到一定程度時反而會使F減小，并且通過實驗能夠計算出如何控制2個變量得到F的最大值，有助于工程上確定變量范圍.

[1] 彭東升. 馬格努斯效應及其在船舶上的應用[J]. 江蘇船舶，1990(2):23-25.

[2] 吳望一. 中國大百科全書74卷(物理學)[M]. 2版. 北京：中國大百科全書出版社,2009：352.

[3] 呂逢嬌. 馬格努斯效應在流量儀表上的應用[J]. 大學物理實驗，2013,26(2):48-50.

[4] 張兆順，崔林香. 流體力學[M]. 3版. 北京：清華大學出版社，2015：184.