金屬結合能、線膨脹系數及德拜溫度的解析研究與計算

于長豐

(西安工程大學 理學院 物理系，陜西 西安710048)

(10)

方程組(8)中，金屬的結合能De和待定系數a為未知數，力常量f2和f3為中間變量，可以通過金屬的其他物性參量如線膨脹系數、德拜溫度等間接求出. 式(8)中N1，N2，q1和q2為由n值決定的常量，根據式(9)和式(10)進行計算，計算結果見表1.

2 金屬結合能與線膨脹系數、德拜溫度之間的關聯性

在方程組(8)中只要知道了二階力常量f2和三階力常量f3便可計算出金屬的結合能De和勢能函數中的待定系數a. 由金屬物理知識可知，二階力常量f2和金屬原子諧振頻率ωe之間滿足

(11)

其中μ為金屬原子的約化質量，對于同一種金屬，則有

(12)

(13)

式中γ為關聯因子. 但在式(8)中，三階力常量f3還是未知，可以根據金屬線膨脹系數α與力常量的關系定出f3. 根據玻爾茲曼統計法[11,24]，可知金屬在平衡核間距處的三階力常量f3與二階力常量f2及線膨脹系數α的關系為

(14)

將式(11)～(14)代入式(8)整理得：

(15)

(16)

(17)

式(15)即適用于多種不同晶系的關于金屬結合能、線膨脹系數及德拜溫度之間的關聯方程. 式中p1和p2針對n不同而取不同的值，且p1=N1/2，p2=N2/N1，γ為關聯因子，其大小為γ≈1～1.1，不同的金屬略有不同.p1和p2取值如表1所示.

表1 不同n值下的系數

將玻爾茲曼常量、普朗克常量及質子質量代入式(15)和(16)得：

(18)

(19)

另外需要指出的是,文獻中給出的線膨脹系數和德拜溫度均是常溫下的數值或平均值,而金屬的這2個性能指標都是隨環境溫度或壓力的改變而變化的[7，16-17，31],在本文計算中均尚未考慮這種變化的影響.

3 金屬線膨脹系數、德拜溫度的理論計算

由式(18)可以給出金屬線膨脹系數和德拜溫度的解析計算式為

(20)

(21)

將式(17)及k值代入式(20)及(21)得

(22)

(23)

在表3線膨脹系數和德拜溫度計算中尚未考慮溫度或壓力的影響，如果考慮這種影響，對于給定的金屬元素，設Re,α及θ是溫度T或壓力p的函數，則由式(20)，p為常量時有

(24)

T為常量時

(25)

若平衡核間距、線膨脹系數及德拜溫度同時是溫度T和壓力p的函數，由式(20)得

(26)

表3 線膨脹系數與德拜溫度理論計算值

續表3

4 結 論

采用兩體勢模型研究了不同晶體結構的共53種金屬的結合能、線膨脹系數、德拜溫度之間的關聯特性并給出了適用于多種不同晶系的三者之間的關聯方程[式(15)]，在該方程中存在共同的關聯因子，其均值為1.046，相對均方根誤差為2.17%. 由關聯方程進一步導出了金屬線膨脹系數和德拜溫度解析計算式，理論計算出的53種金屬的線膨脹系數、德拜溫度與實驗值均吻合，其平均相對誤差分別2.9%和1.66%，相對均方根誤差分別為3.75%和2.19%.

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