氣味干擾下帶有避難所的食餌捕食者模型分析

申佩嫻，薛亞奎

(中北大學 理學院， 太原 030051)

根據實驗結論[10]，只有當食餌感知到捕食者散發出的氣味時才會減低其自身的繁殖率，造成種群整體數量的減少，進而影響捕食者種群的數量。假設捕食者只能捕食避難所之外的食餌，并且捕食者散發出的氣味只對避難所之外的食餌的出生率造成影響，由此考慮避難所保護食餌的數量對模型的影響：當避難所保護食餌的數量逐漸增多時，會導致捕食者可捕食的食餌數量減少。本文用r0[1-cy]+刻畫捕食者釋放的氣味對食餌出生率所造成的影響，其中把單個捕食者產生的氣味干擾看做常數c，捕食者數量用y(t)表示。當氣味干擾足夠小或捕食者種群數量足夠少時，避難所外食餌的出生率將不受捕食者氣味影響；反之，食餌出生率將為0。由此建立如下模型：

(1)

其中：x(t)表示捕食種群數量；y(t)表示食餌種群數量；r0表示食餌的自然出生率；c表示氣味對食餌出生率的干擾系數；mx(t)表示避難所保護的食餌數量；(1-m)x(t)表示能被捕食者能探測到的食餌數量；a表示食餌種群的密度制約系數；p表示捕食者的捕獲率；u表示捕食者捕獲食餌的轉化率(u

假設m<1且c足夠小，也就是說：避難所保護的食餌數量要少于食餌種群的總數量。由于氣味對食餌種群的干擾系數依賴于捕食者種群的數量，因此只有氣味干擾系數足夠小時，避難所外的食餌才可以繼續繁殖和生長。如果不滿足以上條件,捕食者種群將會滅絕。因此，系統(1)變為：

(2)

1 系統解的有界性

定理1 系統(2)的全部正解都是一致有界的。

證明定義一個關于解的和函數[11]z(t)=x(t)+y(t)，則

-ax2+r0x-[p(1-m)-u(1-m)]xy-d1x-d2y≤x(-ax+r0)-mind1,d2}z

(3)

所以總存在一個正數β1，使得式(3)變為

2 模型的分析

2.1 平衡點的存在性

證明顯然系統存在滅絕平衡點E0；若(T1)成立，即r0>d1，存在邊界平衡點E1(x1,0)。

令系統(2)右端為零，即

(4)

由方程組(4)的第2個方程可得

(5)

將式(5)代入方程組(4)的第1個方程,可得

(6)

2.2 平衡點的局部穩定性

定理3 設：(T3)r0

1) 若(T3)成立，則E0局部漸近穩定；若(T1)成立，則E0不穩定。

2) 若(T1)、(T4)同時成立，則E1局部漸近穩定；若(T1)、(T2)同時成立，則E1不穩定；若(T5)成立，則E1是一個鞍結點。

3) 若(T1)、(T2)同時成立，則E2局部漸近穩定。

證明系統(2)在滅絕平衡點E0處的Jacobian矩陣為:

系統在平衡點E0處的特征方程為：

λ2+(d2+d1-r0)λ+(d1-r0)d2=0

(7)

顯然，λ1=-d2是方程(7)的一個根，若(T3)成立，則方程(7)的所有根均為負，E0局部漸近穩定；若(T1)成立，則方程(7)有一個正根，一個負根，故E0不穩定。

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系統(2)在邊界平衡點E1處的Jacobian矩陣為：

則

故若(T1)、(T4)同時成立時，E1局部漸近穩定；若(T1)、(T2)同時成立時，E1不穩定。

(8)

系統(2)在正平衡點E2處的Jacobian矩陣為：

其中：

a12=-r0cx*+r0cmx*-p(1-m)x*

a21=u(1-m)y*

a22=u(1-m)x*-d2

則：

其中：

2.3 平衡點的全局穩定性

[r0-d1+u(1-m)]x-r0cyx(1-m)-ax2-p(1-m)xy-d2

證明令

F1(x,y)=r0mx+r0(1-cy)(1-m)x-p(1-m)xy

-ax2-d1x

F2(x,y)=u(1-m)xy-d2y

3 討論

圖1 系統(2)隨避難所系數m及氣味干擾系數c變化的軌線

從圖1(d)和(e)可知：隨著避難所系數m的增大，系統趨于穩定的時間延長，食餌種群和捕食種群的數量明顯增加。從圖1(f)可以看出：當避難所系數m足夠大時，食餌數量將會大量增加，而捕食種群將趨于滅絕。因此，在一定的捕食者氣味干擾下對食餌種群加入適當的避難所，不僅可以增加食餌種群的數量，同時也有利于捕食種群數量的增加。可見，氣味干擾下對食餌種群加入避難所對捕食系統起著關鍵性的作用。

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