基于主成分分析的壓縮感知重構算法

李 梁，田文飚

(1.中國人民解放軍91872部隊，北京 102442；2.海軍航空大學 信號與信息處理山東省重點實驗室，山東 煙臺 264001)

0 引 言

目前，采集信號通常需要先用常規方式、固定分辨率高速采樣再壓縮[1]，但是，現有壓縮體制需要對所有采集到的數據進行處理，計算后舍棄絕大多數小系數，這樣做既浪費傳感器資源，還增加了對編碼端計算能力的要求，因此不得不考慮如何充分挖掘這些有限采集資源的應用潛力。

實際上，人們感興趣的信號往往具有稀疏性，壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論“少采樣、巧重構”的思想[2-6]，為從相對稀少的觀測數據中重構稀疏信號提供了可能，即以少量的觀測值對待重構信號進行觀測，然后利用最優化算法思想對其進行重構。

壓縮感知框架的實現高度依賴信號的稀疏性，而實際信號的稀疏性很可能未知甚至時變，且稀疏度很可能無法滿足CS重構的要求。本文利用主成分分析[7-8](Principal Component Analysis,PCA)充分挖掘信號的稀疏性，提出主成分追蹤算法，在少量觀測數據的基礎上重構原信號。

1 主成分分析壓縮感知

1.1 主成分分析

在自然環境中，許多信號具有直觀的稀疏性，如一段時間的氣溫、飛機巡航的速度等等。然而，目前并沒有相關研究論證這些信號究竟在哪些變換域上稀疏。本文從分析其主成分著手討論信號的稀疏性。實際上，可以證明任意信號在其理想PCA基下都是絕對稀疏的。

定理：對于信號x=[x1,x2,…,xN]T∈N，則x在PCA基上絕對稀疏，且稀疏度為1。

證明：設信號x的自相關矩陣Rx為：

Rx=xxT，

(1)

因為Rx為實對稱陣，故必存在正交陣U可將其特征值分解，使得：

UTRxU=Λ，

(2)

式中，Λ為非零特征值構成的對角陣，U為對應特征向量組成的正交陣，且UT=U-1。由于U是通過對信號x的自相關矩陣進行特征值分解得到的，故稱其為信號x的PCA基。同時，信號x在其PCA基上的投影矢量α滿足:

α=UTx,

(3)

可以證明α是絕對稀疏的，且稀疏度為1。

由式(1)～式(3)得：

ααT=(UTx)(UTx)T=UTxxTU=UTRxU=Λ,

(4)

由Λ的對角陣特性可知：

(5)

式中，Λij代表Λ的第i行、第j列元素，αi為α的第i個元素。因此，由式(5)知，存在一個固定的j使得

(6)

換句話說，α∈N當中僅有一個元素非零，即α為一個稀疏度為1的絕對稀疏信號，證畢。

信號經過PCA后體現的絕對稀疏性為后續的壓縮感知重構奠定了理論基礎。

1.2 壓縮感知觀測模型

壓縮感知理論首先由Candès、Romberg、Tao和Donoho等人在2004年提出，文獻直到2006年才發表[9-10]。Candès證明了只要信號在某一個正交空間具有稀疏性，就能以較低的頻率采樣信號，而且可以以高概率重構該信號[11-13]。

(7)

1.3 主成分追蹤算法

這里需要注意的是，理論上對不同時刻的信號進行PCA，每次都需要重新進行酉變換得到變換矩陣U，但是可令一段時間之內的觀測共用一個變換矩陣U，通過合理設置學習時間，能夠在復雜度和性能當中尋求一個平衡。

算法1為主成分子空間追蹤(PCSP)算法，具體數據如下：

輸入:觀測值矢量YM×1，觀測矩陣ΦM×N，時間t，學習間隔T；

步驟2 (PCA分解)判斷t是否被T整除，如果是則重新學習得到PCA基U，否則跳過此步驟；

步驟3 (計算相關系數)v=UTΦTrl,l=l+1；

2 數值實驗及結果分析

利用全球海洋大氣(Tropical Atmosphere Ocean,TAO)項目(網址：https:∥www.pmel.noaa.gov/tao /drupal/disdel)中2017年8月20日0時(UTC)起1 000 min實測水溫數據，進行主成分分析的壓縮感知重構仿真實驗。

利用壓縮感知觀測模型對實測數據進行觀測，依據1.3節中提出的PCSP算法對蒸發波導高度進行重構，由于PCA需要定期依據信號計算變換矩陣U，因此分別選擇學習時間間隔為：20 min、100 min、500 min和1 000 min。

定量考察重構信噪比(Reconstruction-SNR,RSNR)隨壓縮比變化的規律，RSNR定義為：

(10)

壓縮比取為0.1～0.5按步長0.05遞增，即對應采集數據規模比原來的依據Shannon定律采樣的數據規模減少了九成至五成，相應的傳輸、存儲及處理成本也節省了一大半。以實際的大范圍浮標系統為例，這將降低每個浮標的能耗、延長整個系統的使用壽命。另外由CS觀測模型可知，每個浮標都可有“休眠”的時間，從另一個角度來看，系統還具有一定抗浮標損壞或數據丟失的能力。

對于水溫這類可壓縮信號，離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)在性能上最接近最佳變換PCA[16]，因此本實驗選取DCT作為對照組變換。實驗結果如圖1所示，PCSP算法基于PCA的感知結果由實線描繪，對照組的DCT由虛線描繪，不同學習時間間隔對應不同的標記符號。

圖1 不同方法感知結果重構信噪比隨壓縮比變化情況

從圖1中可以看出，基于主成分分析的蒸發波導壓縮感知總體性能優于基于DCT的對照組性能，而且學習時間越短，RSNR越大，即重構準確性越好。隨著壓縮比增大RSNR有平緩上升的趨勢，即使在壓縮比低至0.1，學習間隔100 min時，RSNR也在20 dB以上，換而言之，在節省九成采樣資源的前提下，主成分追蹤算法最終的重構結果仍然能夠達到重構信噪比20 dB的水平。當然，付出的代價是每100 min需要重新學習，以如今的計算能力是能夠接受的，而且還可以通過調整學習時間間隔，在重構性能和復雜度之間尋求一個平衡。

3 結束語

文中所述基于主成分分析的壓縮感知為從相對稀少的觀測數據中重構信號提供了可能，也為提高壓縮感知壓縮率提供了理論支持。

從結果來看，本文PCSP算法基于PCA的感知結果總體性能優于基于DCT的對照組性能，且學習時間越短，RSNR越大，即重構準確性越好。可以通過調整學習時間間隔，在重構性能和復雜度之間尋求一個平衡。

盡管DCT在降低相關性方面不如PCA有效，但是其好處是它的基函數是固定的、可分離的，且具有快速算法，所以對于蒸發波導態勢強相關的情況來說，DCT可以近似PCA。如何兼顧兩者優點，則是下一步需要解決的難題。

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