轉化思想在三角形問題中的應用

鄒雪芳

（浙江省寧波市慈溪市新世紀實驗中學，浙江 寧波）

“抓基礎，重轉化”是學好中學數(shù)學的金鑰匙，特別是對一些復雜數(shù)學題目，可通過轉化思想化難為易、化繁為簡，從而達到解決問題的目的。若學生在學習中能將簡單問題與相關的復雜問題結合起來，把特殊問題與一般問題結合起來，把生疏問題轉化為熟悉問題，把抽象問題轉化為具體問題，對培養(yǎng)學生數(shù)學思想和方法，對解決數(shù)學問題有很重要的作用。下面，筆者將運用轉化思想的方法來闡述如何解決一些復雜的三角形問題。

一、陌生問題熟悉化

陌生問題熟悉化是一種數(shù)學解題中常用的方法，所謂熟悉化策略，就是當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，充分利用已有的知識、經(jīng)驗或解題模式，順利解出原題。

1．充分聯(lián)想，回憶基本知識和題型

例：如圖（1），已知CD是RT△ABC斜邊上的高，∠A的平分線AE交CD于H，交∠BCD的平分線CF于G，求證：HF∥BC。

解析：此題可以讓八年級學生回顧直角三角形的基本圖形，從直角三角形的基本圖形出發(fā)，尋找相等的角，由∠ACB=90°，CD⊥AB，可得出∠BCD=∠CAD，再由AE，CF是這兩個角的角平分線得出∠CGA=∠ADC=90°，再結合AE平分∠CAD且AG⊥CF得出△ACF是等腰三角形，轉化為等腰三角形的基本性質問題，找出相等角得出兩線平行。

當然在學完平行四邊形的前提下，我們也可以將證明平行線的問題轉化為證明四邊形CHFE為菱形問題，所用到的方式和方法與上面相同。

2．運用已有的基本題型，恰當?shù)貥嬙燧o助元素

數(shù)學中，同一素材的題目，常常有不同的表現(xiàn)形式：條件與結論（或問題）之間也存在著多種聯(lián)系，此時需要用恰當?shù)妮o助元素將問題轉化為熟悉題型。

例如：我們比較熟悉的一類題目是：如圖（2），△ABC與△CDE都是正三角形，求證：△DBC≌△EAC

對于此題應該很容易得出結果，但是若題目改為：如圖（3），在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則 CD 的長為多少？

分析：如果學生僅僅從條件看根本得不出結果，這時可以引導學生聯(lián)想圖（2）這道題目，發(fā)現(xiàn)如果以CD為邊向右下方作正三角形CDE，連接AE必然可將已知條件AD，BD與所求線段CD轉化到一個三角形中，同時又由已知條件∠ADC=30°得出∠ADE=90°，從而利用勾股定理可得出DE的值，既而可得出DC的值。

二、復雜問題簡單化

所謂復雜問題簡單化，就是當我們面臨的是一道結構復雜的題目時，要想方設法把它轉化為簡單易于解答的新題型，以便通過對新題的考查，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。我們可以從以下兩方面考慮

1．簡單化已知條件

有些數(shù)學題的條件比較抽象、復雜，不太容易入手，這時，不妨簡化題中的某些已知條件，先考慮一個簡化問題，這樣簡單化了的問題對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用

例如：如圖（4），點E在線段AC上，CA⊥AB，DC⊥AC，F(xiàn)E⊥AC，且 DC=AE，AB=EC，F(xiàn)E=AC，∠AFC=53°，求∠DFB 度數(shù)。

分析：我們可以從已知條件將它簡單化，設定EA=EC=AB=DC，可知這是一個軸對稱圖形，連接BC，可得△ABC≌△ECF≌△EAF，可知 BC=CF，∠BCF=90°，可知∠BFC=45°∠DFC=∠AFB=8°，最終得出∠DFB。由此想到若在原題條件下，通過連接AD，BC也可分別得出△ABC≌△ECF，△ECF≌△EAF.，從而很容易用簡單條件下得出的方式得出最后的結論。

2．恰當分解結論，利用已求特殊結論進行猜想，從結論出發(fā)將結論當作條件轉化為已知

數(shù)學問題中的條件有的比較復雜，很難直接得出結論，需要通過挖掘其隱含的因素，把未知條件變?yōu)橐阎獥l件，從而使問題得到解決。例如：如圖（5），點B是x軸正半軸上一動點，點A是線段OB垂直平分線上的點，P為y軸正半軸上一動點，且∠OPB=∠OAB=α（α 為銳角）。（1）如圖（5），若∠AOB=60°，PO=2，求：①PB的長；②PA的長；（2）已知點A的縱坐標是3，問：當點B在x軸正半軸上移動時，PO+PB的長是否會發(fā)生改變？若不變，求出PO+PB的值；若會改變，請說明理由。

分析：第一小題利用特殊三角形三邊之間的關系以及中垂線的性質很容易求出，第二小題從已知條件中很難直接得出結論，但是我們可以結合第一小題的結論PB=4，PO=2，通過猜想得出PB+PO=6，再結合兩線段之和在每條線段長度不確定的情況下一般轉化到同一直線的方式，大膽猜測通過延長BA必與y軸相交與點C通過證明PB=PC實現(xiàn)兩條線段轉化至一條線段，發(fā)現(xiàn)通過已知條件中點A的縱坐標3正好可求出OC的長度，從而使問題得到解決。

三、抽象問題直觀化

所謂直觀化，就是當我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時，要設法把它轉化為直觀一點的具體問題。

例如：設 a，b，c，d 為實數(shù)，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一個三角形的三邊長分別為，求此三角形的面積。

分析：對于此類問題從常規(guī)角度考慮無從下手，但是如果我們通過三邊長的給出形式正好與勾股定理的求邊形式上一致，故考慮通過構造直角三角形的方式，可以非常直觀地把問題解決。如圖（6）可知，AB=b，BC=d，AD=b-a，BD=a，BF=c，CF=d-c，很容易求出△AEC的面積：

綜上所述，轉化思想是一種數(shù)學解題的非常重要的思想方法。在三角形的復雜問題中同樣起到了非常重要的作用，它能讓我們對復雜的問題進行變換，使之化繁為簡、化難為易、化生疏為熟悉，對于此種方法的訓練，可以激發(fā)學生學習興趣、提高學生的解題能力和培養(yǎng)學生的思維能力，所以作為數(shù)學教學工作者我們更應在教學中時常進行滲透。