基于翻轉課堂及建模思想的數值計算方法教學探討

馬衍波 瞿丹

摘要：針對數值計算方法課程知識點繁多、復雜數學公式推導晦澀難懂以及課程與諸多實際項目緊密聯系等特點，將“翻轉課堂”教學模式和“數學建模”思想結合起來引入到該課程教學，并設計了教學模式的總體結構。教學實踐表明，翻轉課堂和數學建模思想的結合改變了傳統的教師先教學生后學的教學模式，提高了學生的對課程參與熱情和自主學習意識，有助于課程知識內化和學生工程實踐能力的培養。

關鍵詞：數值計算方法;翻轉課堂;數學建模;教學改革;教學模式

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? 文章編號：1009-3044（2018）35-0171-02

數值計算方法作為理工科學生的專業基礎課之一，在信息與計算科學、信息安全領域有著非常重要的地位，為編程語言提供理論支持和數值實現;隨著人工智能和現代計算機的迅速發展，數值計算方法課程越發成為理工類本科生重要的課程分支。然而，數值計算方法課程具有理論性和實踐性較強的特點，教材內含有大量的數學公式和相關數學理論推導，這些都影響了學生的學習興趣，同時相關理論知識需要學生理解并編程實踐，對學生的編程能力提出了較高的要求，這些都對學生學習及教師上課提出更高的要求。

目前數值計算方法課程授課側重經典理論和算法的介紹，數值實驗也以簡單的驗證性實驗為主，數值計算領域較新的研究成果很少在教學中涉及，理論和實際相脫節，這使得學生不能很好地運用所學的理論去解決實際問題，從而主動參與到學習過程中。為達到以學生為中心、培養學生的創新實踐能力之目的，文獻[1-3]討論了在不同課程教學中引入翻轉課堂的概念，將授課過程放在課堂之外，充分發揮學生的主觀能動性;文獻[4-8]在數值計算方法課程教學中引入數學建模思想，充分調動學生的學習熱情。本文將翻轉課堂和數學建模思想相結合融入數值計算方法課程教學體系中，新方法打破教師先教學生后學的傳統模式，提高學生對課程的參與熱情，同時以數學建模思想驅動實際問題與所學內容結合，有效培養學生學習積極性和實踐能力。

1 結合翻轉課堂與數學建模思想的教學模式

翻轉課堂是指調整、改變課堂內外的時間，轉換教師學生教學角色，把學習的主動權從教師轉到學生，把灌輸式教學變成主動型學習，激發學生的主觀能動性。教師通過網絡平臺將教學內容以視頻、課件等信息的方式發送給學生，由學生在課前自主完成學習，教師幾乎不再占用課堂的時間來講授這些信息，學生在課前學習過程中，產生疑問可以在網絡上與別的同學討論，或在任何時候去查閱需要的材料。教師也可以有更多的時間與每個同學交流。課堂上采用分組討論的形式，教師僅扮演答疑解惑的角色。學生自主規劃學習節奏、學習風格和知識呈現的方式，教師根據學生反饋采用講授法和協作法來滿足學生的學習需要和加強他們的個性化學習，其目標是為了讓學生通過學習實踐掌握如何學習，獲得更真實的學習方法，促進自身成長。翻轉課堂將知識傳授和知識內化兩個階段進行翻轉，在該模式下，教師扮演學習的指導者，學生充當主動研究者。

數學建模思想是指利用數學規律描述實際問題，分析對象的內在規律，并用計算機軟件模擬得出定量結果。教師在課前將與課程相關的實際案例通過網絡布置給學生，學生需要查詢相關資料獲得該問題的數學模型，然后編程實現其數值結果，在整個過程中學生將課程理論知識內化吸收。數學建模思想可以較好地應用與數值計算方法課程相關教學內容，具有趣味性，能充分激發學生的學習主動性和好奇心，使學生在完成特定教學任務時活動成就感，同時掌握相關知識和技能。

2 數值計算方法課程教學設計實施案例

結合翻轉課堂與數學建模思想的數值計算方法教學模式的具體實施可根據學生學習過程分成三個部分，分為課前學習，以視頻及相關建模作業呈現、課中學習，以師生問題討論與答疑呈現、課后學習，以總結知識及考核內容呈現。下面將以講授迭代法求解方程組為例給出具體的描述。

1） 課前學習。通過手機應用軟件如超星學習通將課程視頻、建模例題提前發放給學生，讓學生在理解視頻的基礎上，完成下述題目：

例：（2011年數學建模競賽題）天文學家要確定太陽系某顆小行星繞行軌道，在軌道平面內，以太陽為原點建立笛卡爾直角坐標系，以每天文單位（1.4959787e11m）為基本單位，根據5次不同時間的觀察，測得該小行星的運行軌道的坐標數據如下頁表1。

在實踐教學中，學生通過網上查閱資料了解小行星的運行軌道是橢圓，可以建立數學模型，即[ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+1=0，]將上表中的5點坐標代入方程可得5元線性方程組：

[ax12+2bx1y1+cy21+2dx1+2ey1=-1ax22+2bx2y2+cy22+2dx2+2ey2=-1ax32+2bx3y3+cy23+2dx3+2ey3=-1ax42+2bx4y4+cy24+2dx4+2ey4=-1ax52+2bx5y5+cy25+2dx5+2ey5=-1]

利用Matlab軟件可計算該方程組的解為[（a，b，c，d，e）=0.0508，-0.0351，0.0381，-0.2265，0.1321]，然后要求學生嘗試用LU分解法計算該方程組。

通過此案例，可以讓學生在新課程開始前就接觸實際問題，先建立數學模型，然后利用課前短視頻學習找到解決數學模型的數值方法。

2） 課堂學習。該階段的核心是以討論和互動的方式來進行的，目的是讓學生有效地對知識和理論進行內化。主題為課前視頻和數學建模例題，具體討論模型的建立、模型的數值求解、數值方法的優劣及改進、不同算法的理論基礎。按照小組討論、分組匯報、組間提問、組間打分、教師點評及總結的步驟進行課堂學習。

3） 課后總結及考核。課后給學生提供若干實際問題，例如某年中國投入產出表，要求學生建立投入產出數學模型，而后以數學建模比賽形式，由每組3人共同完成整個項目案例，其中包括數據收集及數學模型的建立、數據分析處理與算法實現、結果分析和展示以及項目案例完成報告等。該方式以實際應用問題為手段，通過數學建模思想加深學生對理論知識的理解，強化學生對講授的理論知識和實踐相結合的意識，該過程可以有效督促學生理解、鞏固、內化外在理論知識，從而加強由研究到數學科學技術轉化的能力。

在實際教學中，插值法內容教學前選取彈性力學中小擾度彎曲問題的模型，曲線擬合內容前選取人口增長模型，數值微分選取經濟增長率模型，方程求根的迭代法選取了養老保險問題模型，常微分方程的數值解法選取了藥物在體內分布及排除模型。通過以上的實踐，學生的學習興趣、學習效率有明顯提高，學習成績有顯著增長。

3 結論

本文針對數值計算方法的教學現狀，提出將翻轉課堂與數學建模思想兩者融合的教學模式。在該模式下，課前設計相關實踐問題，鼓勵學生解決實際問題，提高學生對課程的參與熱情和主動性，改變教師先教學生后學的教學模式，通過課前學習，課堂上學生討論和教師有針對性的答疑解惑及綜合指導，課程中比較晦澀難懂的理論知識得以快速理解，并及時將該理論知識來表述實際問題，建立數學模型，并進行數學的理論分析和計算。該教學模式可以讓學生掌握準確快捷的計算方法和嚴密的理論知識，也培養了他們用數學工具分析和解決實際問題的意識和能力。通過教學實踐，多數同學認為翻轉課堂和數學建模能提高自身的學習效率。

參考文獻：

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[通聯編輯：王力]