線性規劃在利潤最大化和成本最小化問題中的應用

滕莉

摘要：利潤最大化和成本最小化是高中數學中的常見問題，需要使用線性規劃方法進行求解。本文結合筆者自身的學習經歷，對線性規劃知識進行簡單介紹，并分析其學習方法。在此基礎上，集中探討其在求解利潤最大化問題和成本最小化問題中的應用，以期提高此類問題的求解速度和準確率。

關鍵詞：線性規劃；利潤最大化；成本最小化

前言：線性規劃知識具有較強的實用性。在經濟社會中，企業的資源分配、市場策略制定等都需要利用線性規劃知識。隨著新課改的不斷深入，教材和考試題目與生活實際的聯系性越來越密切，我們在考試中經常會遇到求解利潤最大化或成本最小化的問題，線性規劃是求解此類問題的關鍵方法。因此，我們在平時的學習過程中，應對線性規劃知識進行深入理解，并掌握此類題目的求解規律，從而在考試中從容應對，快速、準確的求解出答案，提高數學成績。

一、高中數學中的線性規劃知識及學習方法

1.線性規劃知識概述

線性規劃知識是一種求解優化問題的計算工具，在特定的資源約束條件限制下，通過線性規劃計算，以最小的投入換取最大的回報，從而實現經濟效益最大化。線性規劃是我們求解此類問題的重要方法，其包含了許多重要思想，包括數形結合思想、轉化思想等。學好線性規劃知識可以提升我們的邏輯思維能力，使我們在解決實際生活中的問題時能夠快速理清思路，采用正確的方法進行分析和計算。在高中數學中利用線性規劃求解的問題主要包括不等式問題、函數轉化問題、目標函數求解問題、整點問題等。其中，利潤最大化和成本最小化問題屬于在線性約束條件下求取目標函數最大值、最小值的問題，在約束條線下的解叫做函數的可行解，由其組成的域叫做可行域。在求解過程中，一般要列出約束條件，畫出可行域，進而求出最優解[1]。

2.線性規劃學習方法

鑒于線性規劃知識的重要性，我們在學習過程中，必須扎實掌握線性規劃的相關概念公式，采用靈活的學習方法，提高此部分知識內容的應用能力。筆者根據老師指導和自己平時的學習經驗，總結出以下幾點學習方法：（1）根據教材和提綱進行自學，以教材中的不等式為例，通過自行閱讀，了解解集的求解過程，深刻認識解集代表的意義，并找到相關題目進行鞏固練習，如果遇到難以理解的題目，要及時向老師請教；（2）與同學進行集體學習，分享在課堂和自學過程中遇到的問題，通過互測互評等方式，相互督促，共同進步，提高此類問題的解題能力；（3）充分利用各種學習資源，包括網絡學習資源等，參加實踐調查活動，提高線性規劃知識的實際應用能力，從而在求解此類應用題時能夠得心應手，結合實際情況進行分析和求解[2]。

二、應用線性規劃求解利潤最大化和成本最小化問題

1.求解線性規劃問題的一般形式

最大利潤和最小成本，是在經濟活動中最常見的研究課題，是同一研究領域的兩個不同數學模型，且都屬于最優化模型。其中，最優化模型可以表示為Z=c1x1+c2x2+…+cnxn的形式，其中，x1到xn是決策變量，即探討實際經濟問題的未知變量，在決策系統中屬于可控因素，Z是目標函數，c1到cn是價值系數。采用ax≥b表示一個約束條件，在經濟管理問題中，限制因素可能是原材料供應、市場銷售狀態和產品質量等。在線性規劃問題中，決策變量、目標函數和約束條件是其三要素。通常將線性規劃問題用以下標準形式進行表示：

2.企業利潤最大化問題的求解方法

在實際生產中，企業開展生產和銷售活動的主要目的就是賺取利潤，因此實現利潤最大化是企業管理的核心目標。利潤等于總收入減去總成本得到的計算值，如果總收入大于總成本，企業就會獲得利潤，反之企業則會虧損。利益最大化不僅是企業積極爭取的目標，也是推動社會財富增長的重要動力，但要實現這一目標較為困難。采用線性規劃方法可以幫助企業做出合理的統籌規劃。

比如在實際問題中，企業采用A和B兩種原料生產甲乙丙丁四種產品，其中A原料有18kg，B原料有3kg，生產1萬件甲產品要消耗3kgA材料，生產1萬件乙產品要消耗2kgA材料，生產1萬件丙產品要消耗10kgA材料和2kgB材料，生產1萬件丁產品要消耗4kgA材料和0.5kgB材料。甲乙丙丁四種產品的利潤分別為9元/件、8元/件、50元/件、19元/件。

3.成本最小化問題的求解方法

最小成本求解問題的基本思路與最大利潤類似，比如三種食物的維生素A含量分別為600單位/kg、700單位/kg，400單位/kg，維生素B含量分別為800單位/kg、400單位/kg和500單位/kg。其成本價分別為11元/kg、9元/kg和4元/kg。現要配置100kg混合事物，要求維生素A含量最少為56000單位，維生素B含量最少為63000單位，求最低成本。在求解時可以列出目標函數為C=11x + 9y + 4z，約束條件為600x+700y+400z≥56000800x+400y+500z≥63000 ，通過求解目標函數，可以得出x=50，y=20，z=30時，目標函數取得最小值，從而求出最小成本為850元。

結束語：綜上所述，線性規劃是求解最大利潤和最小成本問題的關鍵方法，通過掌握線性規劃知識的重點內容和學習方法，可以幫助我們找到解決此類問題的方法。在此基礎上，掌握求解兩種問題的一般解題形式，并結合實際問題進行具體分析，可以提高我們的實際解題能力。

參考文獻：

[1]董悠.高中數學線性規劃問題分析[J].科技創新導報，2017，14（04）：193-194.

[2]涂小琴.淺析高中數學《簡單的線性規劃問題》[J].快樂閱讀，2012（22）：79.

（作者單位：湖南省常寧市第一中學 421500）endprint