妙用數(shù)形結(jié)合思想，優(yōu)化中職數(shù)學(xué)解題思維

劉曉敏 劉利娟

摘要：數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中是經(jīng)常使用的一種方法，通過(guò)將數(shù)學(xué)中的常用問(wèn)題和相應(yīng)的圖形關(guān)聯(lián)起來(lái)，將十分抽象的問(wèn)題變得更加的形象化，讓問(wèn)題能夠更容易被理解，因此在數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中十分的受到歡迎。并且很多難題在使用了數(shù)形結(jié)合的方法以后能夠解得更加簡(jiǎn)單，使得問(wèn)題更加容易被解決。但是數(shù)形結(jié)合在具體的應(yīng)用過(guò)程中還有很多的中職學(xué)生沒(méi)有掌握其具體的思想，因此本文主要對(duì)于如何將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到解題中進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；解題思維

數(shù)學(xué)不是單純地學(xué)習(xí)數(shù)這一概念，如果只是學(xué)習(xí)數(shù)字，那么數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就相當(dāng)枯燥。在數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是相結(jié)合的，它們是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本、最古老的元素，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開(kāi)的：每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常常可以通過(guò)圖形的直觀性做出形象的描述。因此，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問(wèn)題利用形來(lái)觀察，簡(jiǎn)言之，就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和空間形式相結(jié)合起來(lái)加以考查來(lái)處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合的思想方法。

一、數(shù)形結(jié)合方法在解三角函數(shù)題中的應(yīng)用

對(duì)于某些三角函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題用直接法求解比較麻煩時(shí)，如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問(wèn)題來(lái)解決，就可以方便地找到解決問(wèn)題的方法。如在教學(xué)中有這樣一道題：已知三角函數(shù)y=cosθ+4sinθ-5 求其值域。對(duì)于這樣的函數(shù)問(wèn)題中職學(xué)生往往非常頭痛，如果直接來(lái)求其值域，比較麻煩不易求解。根據(jù)直線的斜率公式K=y-y0x-x0，把三角函數(shù)變形為：y=cosθ-（-4）sinθ-5，這樣就能把三角函數(shù)y看成是過(guò)一個(gè)固定點(diǎn)P（5，-4）和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（sinθ，cosθ）這兩點(diǎn)之間的直線的斜率k。通過(guò)轉(zhuǎn)化就把“數(shù)”的問(wèn)題變成了“形”的問(wèn)題。如果假設(shè)x=sinθ，y=cosθ，運(yùn)用sin2θ+cos2θ=1這個(gè)三角函數(shù)的公式，就能得出：x2+y2=1，此時(shí)可求出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑為1的圓。這樣就把所求問(wèn)題變成求定點(diǎn)P和單位圓上的任意一點(diǎn)M連線斜率k的取值范圍問(wèn)題。可把直線的方程表示為y+4=k（x-5），整理方程可得：Kx-y-5k-4=0，然后再根據(jù)圖1可得出：圓心到直線的距離小于等于1，列出式子|-5k-4|k2+（-1）2≤1，這樣求出k的值即為函數(shù)的值域。通過(guò)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，問(wèn)題就能輕松解決。

二、數(shù)形結(jié)合方法在圓錐曲線解題中的應(yīng)用

由于圓錐曲線的定義是用數(shù)和形結(jié)合的方法來(lái)對(duì)曲線下的定義，在解析幾何解題中數(shù)形結(jié)合的方法應(yīng)用非常廣泛，也是解決這類(lèi)題目的最好方法。在這部分內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)方面來(lái)認(rèn)識(shí)和理解曲線問(wèn)題，這樣就能讓學(xué)生對(duì)題目有直觀形象的認(rèn)識(shí)的同時(shí)，還能掌握問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題容易解決。例如，已知一個(gè)動(dòng)圓C與一個(gè)定圓C1：（x+4）2+y2=100相內(nèi)切，與加一個(gè)定圓C2：（x-4）2+y2=4相外切，求：這個(gè)動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。要求解出這個(gè)動(dòng)圓的軌跡方程，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，借助圖形的直觀性，根據(jù)題目所給的條件畫(huà)出圖形，通過(guò)畫(huà)輔助線，假設(shè)圓心是P，從圖形關(guān)系中就能求出圓C的軌跡是一個(gè)橢圓。假設(shè)動(dòng)圓的圓心為P（x，y）其半徑為r。因?yàn)槎▓AC1的圓心是（-4，0），半徑r1=10；定圓C2的圓心是（4，0），半徑r2=2。由于圓C和圓C1內(nèi)切、和圓C2外切，可由此得出C1P=10-r，C2P=2+r，C1P+C2P=12，，從圖中看出動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為定值12，所以a=6，c=4，由此可求b2=a2-c2=20。最后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是x236+y220=1。

三、數(shù)形結(jié)合方法在不等式解題中的應(yīng)用

在求解不等式問(wèn)題有時(shí)難以找到思路或者計(jì)算過(guò)程比較麻煩，如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法就能形象直觀地解答問(wèn)題或容易找到解題思路。在利用該方法解題時(shí)：首先要求出不等式表示的函數(shù)，然后畫(huà)出函數(shù)的圖像，再通過(guò)函數(shù)圖像和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)或圖像之間的交點(diǎn)來(lái)解不等式問(wèn)題。例3：某旅行社想租用A、B兩種型號(hào)的客車(chē)為來(lái)安排900名客人去旅行。A型客車(chē)能載客36人，租金為1600元/輛；B型客車(chē)能載客60人，租金為2400元/輛。旅行社要求租車(chē)的總數(shù)不超過(guò)21輛，而且B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛，求：最少的租金是多少？教師在教學(xué)分析中可假設(shè)旅行社租用A型車(chē)x輛，B型車(chē)y輛，總租金為z元。則可以列出題目所給的線性約束條件是x+y≤21，y-x≤7，36x+60y≥900，并且x≥0，x∈N；y≥0，y∈N，所求的目標(biāo)函數(shù)是z=1600X+2400y。畫(huà)出這幾條直線的圖形就可以看出，符合要求的區(qū)域范圍，從圖中可以看出：目標(biāo)函數(shù)z=1600X+2400y在經(jīng)過(guò)M（5，12）點(diǎn)時(shí)，能取得最小值，把A點(diǎn)的坐標(biāo)值代入z函數(shù)中，可求出z=1600x+2400y=1600*5+2400*12=36800（元）。用這種方法把不等式問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可以把問(wèn)題容易解決。

結(jié)語(yǔ)：在數(shù)學(xué)的教育思想中要求將數(shù)與形都要掌握并且能夠靈活運(yùn)用。中職數(shù)學(xué)是以板塊將知識(shí)做以區(qū)分，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的每一個(gè)板塊。所以教師在教學(xué)的過(guò)程中要將數(shù)形結(jié)合思想完全地滲透到教學(xué)中才能夠引起學(xué)生的重視，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)才能得到有效的提高，為學(xué)生走入工作崗位或高考升學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)中也要注重對(duì)數(shù)形結(jié)合解題方法的應(yīng)用，這樣才能從根本上解決數(shù)學(xué)難題，增強(qiáng)自身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，最終實(shí)現(xiàn)提高數(shù)學(xué)成績(jī)的目標(biāo)。

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（作者單位：安徽省阜陽(yáng)市太和縣皖北電子信息工程學(xué)校 236600）