采用權值配比優化的超級電容等效電路模型參數辨識

張樂,續丹,王斌,馬光亮,李其玉,周歡

(西安交通大學機械電子工程研究所,710049,西安)

超級電容作為一種新型的儲能裝置,具有功率密度大、充放電速度快、工作效率高、循環壽命長等優點而受到研究者的廣泛關注[1-3]。建立一個能夠實時反映超級電容充放電及自放電等特性的模型,對超級電容儲能系統的均衡、控制和性能優化等都有重要的意義[4-5]。常見的超級電容模型包括電化學模型和等效電路模型[6-7]。電化學模型能很好地反映超級電容的內部工作機理,但無法反映超級電容的物理特性。等效電路模型采用電阻、電容元件描述超級電容的動態工作特性,具有實際的物理意義,因此具有很強的實用性。由于超級電容等效電路參數辨識的結果直接影響模型精度,因此在建立超級電容等效電路模型的基礎上,采用合適的方法對模型參數進行有效辨識顯得尤為重要。

目前,超級電容模型參數辨識方法包括最小二乘法、粒子群算法、自適應模糊估計算法、二元二次方程擬合等[8-10]。最小二乘法簡單直觀,對非線性模型參數具有很好的統計計算效果,但辨識精度不高;粒子群算法能提高模型參數辨識的精度,但計算復雜,特別是對時變系統不易實現在線參數辨識;自適應模糊估計對非線性系統有較好的魯棒性,但穩態誤差難以補償;二元二次擬合方法求解結果為特定的解,常因虛根問題造成辨識結果不準確。

考慮超級電容的容量隨電壓變化,還需要辨識超級電容的可變電容分支參數[11-12]。為了采用簡單有效的方法辨識超級電容模型參數,本文提出一種基于權值配比優化的超級電容等效電路模型參數辨識方法。基于超級電容三分支等效電路模型,首先通過可變電容和電壓之間的關系擬合可變電容的比例參數,然后結合遞推最小二乘法(RLS)和雙線性變換方法在不同工步條件下參數辨識的優點對模型參數進行修正,以獲得更加精確的參數估計值,最后通過等效電路模型計算結果與實驗測試結果比較,驗證了所提出的基于權值配比優化方法的有效性。

1 超級電容模型

超級電容的等效電路建模具有方法簡單、便于計算等優點。已有的等效電路模型包括經典等效電路模型、梯形電路模型、多分支RC模型等[11,13-14]。經典等效電路模型結構簡單、參數辨識容易,但在長時間充放電和靜置條件下,模型仿真精度不高;梯形電路模型在較寬的頻率范圍內有較高的擬合精度,但階次越高,模型精度越高,參數辨識也越復雜,并且梯形等效電路不同分支中的電阻和電容耦合度高,不易求解;多分支RC模型考慮了超級電容電壓與電容的依賴關系,各分支上電阻和電容相對獨立,可以根據精度要求選擇分支數[15]。

本文采用三分支等效電路對超級電容建模,可以有效保證模型精度,并且模型復雜度適中,如圖1所示。考慮超級電容的容量隨電壓變化,在模型第1分支中采用固定電容Ci0和固定電容Ci1與時變電壓V的乘積組合而成的“可變電容”Ci1V組成快速分支,采用Ri模擬快速分支等效串聯內阻,根據電容隨電壓的變化關系描述超級電容充放電時的時變動態特性;采用Rd和Cd串聯構成慢速分支;采用Rl構成自放電分支,主要描述超級電容在充放電結束后的自放電特性。因此,通過第1、第2和第3分支等效電路設計,可以有效描述超級電容內部電荷的重新分配現象和充放電、自放電等特性。

圖1 超級電容等效電路模型

2 參數辨識

在新威爾測試平臺上對超級電容進行多工步條件測試。基于超級電容三分支等效電路模型,分別采用RLS法和雙線性變換法對模型參數進行辨識。

2.1 遞推最小二乘法辨識

(1)

(2)

式中:z(k)為輸出量的第k次觀測值;y(k-j)是系統第k-j個輸出值;u(k-j)為系統的第k-j個輸入值;v(k)是系統的測量噪聲;αj、βj分別是RLS算法中輸出量和輸入量的待求解系數。

h(k)=[-y(k-1),…,-y(k-n),

u(k-1),…,u(k-n)]

(3)

(4)

RLS法具體遞推算法為

(5)

根據圖1所示的超級電容等效電路模型,選擇電流i(t)作為系統的輸入,電壓u(t)作為系統的輸出。在超級電容充放電過程中可實時采集得到N個輸入值i(1),…,i(N)和N個輸出值u(1),…,u(N)。首先,求超級電容模型傳遞函數

(6)

式中:X=RiRl+RdRl+RiRd,Ri、Rd、Rl分別為模型第1、第2和第3分支的電阻;Ci為第1分支的總電容值;Cd為第2分支的電容;s為拉式變換的復變量。對式(6)進行拉氏變換

G(s)=(b2s2+b1s+b0)/(s2+a1s+a0)

(7)

其中拉氏變換系數a1、a0、b2、b1、b0分別為

(8)

對連續傳遞函數進行離散化,即對傳遞函數進行z變換

G(z)=

(9)

相應的差分方程為

u(z)=α1u(z-1)+α2u(z-2)+β1i(z)+

β2i(z-1)+β3i(z-2)

(10)

式中:u(z)為系統輸出量的第z次觀測值;u(z-n)為系統第z-n次輸出值(n=1,2,…);i(z-n)為系統的第z-n次輸入值(n=0,1,2,…);α1、α2、β1、β2、β3為RLS算法的待求解系數

(11)

實驗輸入輸出數據矩陣和系統待辯識參數矩陣的z變換分別為

h(z)=

[-u(z-1),-u(z-2),i(z),i(z-1),i(z-2)]

(12)

(13)

式(10)可改寫為

(14)

2.2 雙線性變換辨識

應用雙線性變換方法對超級電容等效電路模型進行參數辨識。通過將由連續信號采樣所得的實驗數據進行離散化區域劃分,對模型的傳遞函數進行離散化處理,從而實現對模型參數的有效估計。對式(7)進行雙線性變換

G(z)=(β3z-2+β2z-1+β1)/(-α2z-2-α1z-1+1)

(15)

相應的差分方程為

u(z)=α1u(z-1)+α2u(z-2)+β1i(z)+

β2i(z-1)+β3i(z-2)

(16)

其中

(17)

采用雙線性反變換求實際參數模型得

(18)

即

(19)

3 實驗測試和模型計算分析

本文具體研究的雙電層超級電容型號規格為SAMWHA 350F。額定電壓為2.7 V,在恒流條件下對其進行充放電和自放電實驗,電流選擇為15 A,實驗環境溫度為20 ℃,采樣周期為1 s。實驗所用的新威爾超級電容測試平臺如圖2所示,實驗測試的超級電容單體充放電特性曲線如圖3所示。

圖2 超級電容測試平臺

圖3 超級電容單體實驗曲線

為確定超級電容等效電容Ci隨端電壓U變化的函數關系,采用曲線擬合方法對實驗所得數據進行處理,有

Ci=Ci0+Ci1V=0.114 8V-0.083 14

(20)

通過電容和電壓的擬合曲線得Ci1=0.114 8。

基于可變分支電容比例參數的辨識結果,分別采用RLS法和雙線性變換方法對超級電容等效電路模型進行參數辨識,并通過模型計算結果和實驗結果驗證所辨識參數的準確性,基本思路如圖4所示,參數辨識結果見表1。

圖4 參數辨識與模型驗證流程圖

方法Ri/ΩRd/ΩRl/ΩCi/FCd/FRLS0.01250.013930328.586919.1526雙線性變換0.01180.017821.31327.298525.1575

分別采用RLS法和雙線性變換方法進行參數辨識后獲得的超級電容充放電及自放電對應的電壓曲線如圖5、圖6所示。

圖5 RLS法計算結果與實驗結果比較

由圖5可以看出,RLS方法在平穩環境下能有效模擬超級電容的充放電特性,而在非平穩環境下對突變和時變信號的跟蹤能力不夠[16]。超級電容充放電結束節點前后,由于電流突變為0,RLS方法對參數的修正能力下降,計算結果在工作條件突變時發生較大偏差;在充放電結束階段和靜置階段,RLS方法能夠較準確地模擬超級電容的自放電特性。根據實驗結果和仿真結果對比可得,采用RLS方法的綜合誤差約為2.35%。

圖6 雙線性變換法仿真結果與實驗結果比較

由圖6可以看出,雙線性變換方法能較好地反映超級電容的動態響應特性。在超級電容充放電結束前后,電流的突變對超級電容的充放電過程影響不大,有效反映了超級電容的充放電動態特性,但是在超級電容靜置階段和自放電階段,雙線性變換方法不能很好地描述其靜態特性,模擬計算結果在超級電容靜置時偏差較大。根據實驗結果和仿真結果對比可得,采用雙線性變換方法的綜合誤差約為2.68%。

對比分析結果表明,RLS法和雙線性變換方法均能對超級電容等效電路模型進行參數辨識。針對超級電容不同工步測試條件進行參數辨識時,2種方法有各自不同的優缺點。

4 權值配比優化

根據上述2種方法的參數辨識結果分析,為了保證等效電路模型能準確反映超級電容充放電、自放電特性,即超級電容模型在平穩環境下有良好的自放電特性,在時變環境下有準確的充放電特性。本文綜合了2種辨識方法的優點,采用權值配比優化的方法將RLS方法和雙線性變換方法的計算機理進行有機結合,對所辨識出的參數值進行加權優化配比,通過控制2種方法在超級電容不同工步階段的權值對參數辨識結果進行修正。分別設計RLS方法和雙線性變換方法的權值為wr和wb,則令

wr+wb=10

(21)

在充放電階段,令wb>wr;在自放電階段,令wb

表2 不同權值配比時的工作階段端電壓誤差

注:加粗數值指不同工步條件下的端電壓誤差最小結果。

結合超級電容三分支等效電路模型快慢分支的特點,在權值配比優化的基礎上,進一步對模型參數進行分析和修正。在超級電容等效電路模型中,電阻Ri、電容Ci0和可變電容Ci1V組成的快速分支主要完成超級電容的快速充電過程,電容Ci0主要完成超級電容在充滿電后的放電工作。因此,對于Ri和Ci0,應選擇的權值配比為wrwb。由于模型各參數相互影響,基于上述分析和大量的實驗測試統計,最終確定的權值優化配比結果見表3。在表3權值配比情況下的模型工作階段端電壓的計算結果如圖7所示。

表3 模型各參數權值配比情況

圖7 最優取值配比條件下工作階段端電壓的仿真結果與實驗結果

超級電容的自放電和靜置指在放電結束后電壓出現的下降和自恢復現象[17],主要是由于超級電容在充放電過程中和結束后其內部電荷的重新分配和內部尚未完全停止的電化學反應[18]。為解決這一問題,在充電結束后,給超級電容等效電路模型增加一個微小的電流補償模擬其電化學反應過程,并結合權值配比優化后的參數修正結果進行驗證。為驗證權值配比優化方法的有效性和適用性,在超級電容測試平臺上,分別在恒流條件下將超級電容充電至額定電壓和2.5 V后再進行放電的實驗,并采用權值配比優化方法進行參數辨識,將最終的實驗結果和模型計算結果進行對比,如圖8所示。

(a)超級電容充電至額定電壓

(b)超級電容充電至2.5 V圖8 多組實驗條件下自放電過程優化結果

實驗結果和采用權值配比優化方法計算結果的最終誤差約為0.9%,因此基于權值配比優化對超級電容等效電路模型參數進行修正,結合超級電容自放電特點對自放電分支進行電流補償,能準確表征超級電容的實時工作響應特性,驗證了所提出的權值配比優化方法對超級電容等效電路模型參數辨識的正確性,提高了超級電容等效電路模型的精度,與RLS法和雙線性變換方法相比,辨識精度分別提高了1.45%和1.78%。

5 結 論

采用傳統的RLS方法和雙線性變換方法辨識超級電容等效電路模型參數時,模型不能完全反映超級電容的動態充放電特性、自放電特性和靜態特性。為有效解決上述問題,提高模型精度,本文提出一種基于權值配比優化的超級電容等效電路模型參數辨識方法。在超級電容三分支等效電路模型的基礎上,通過可變電容和電壓之間的關系擬合可變電容分支的比例參數。分別采用RLS方法和雙線性變換方法辨識超級電容等效電路模型各分支的參數,并就2種方法對快速分支、慢速分支與自放電分支的影響進行深入分析,得出權值配比方法在不同工步測試條件下的最優結果。結合RLS方法和雙線性變換方法的優點設計了針對超級電容等效電路各分支參數的權值配比優化方法。搭建超級電容等效電路模型,并代入基于權值優化方法計算的參數,將模型計算結果與實驗測試結果比較分析。與遞推最小二乘法和雙線性變換方法相比,采用權值配比優化方法可以更加準確地反映超級電容的充放電特性、自放電特性和靜置特性,模型精度分別提高了1.45%和1.78%。

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