2014年高考浙江卷第21題解法探究

內蒙古呼和浩特市第十四中學高三（15）班 苗雨欣

一、原題呈現

（1）已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標；

（2）若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a-b。

二、解法探究

思路1：（1）因為直線l的斜率為k，所以切線方程為y=kx±與橢圓方程聯立方程組，從而求出P點的坐標；

（2）利用垂直關系求出垂線l1的方程，利用點到直線的距離公式求出點P到直線l1的距離，再利用基本不等式求出距離的最大值。

解法1：（1）已知直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+m，橢圓方程為聯立消去y，得b2x2+a2(k+m)2-a2b2=0，即

因為直線l是橢圓的切線，所以=0，整理得所以切線l的方程為由于P在第一象限，所以切線l的方程為

（2）證明：由題意知，直線l1的方程為所以點P到直線l1的距離為：

因為點P在第一象限，由①、②聯立方程組，解得x0=

所以用a，b，k表示點P的坐標是

（2）證明：直線l1的方程為x+ky=0，則點P到直線l1的距離為

思路3：利用勾股定理

因為點P在第一象限，k＜0，所以可得

所以用a，b，k表示點P的坐標是

（2）證明：設OQ=R，所以點Q在圓上，又在直線l1上，可得④，由③④得：

第（2）小問，還可以用法線來簡捷證明：

所求點P到直線l1的距離等于坐標原點O到此法線l2的距離d，所以

三、題源追溯

這道浙江高考題是由2004年四川省高中數學聯賽一道試題改編而來的：

2018年高考江蘇卷第18題也是由此競賽題改編的：如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點焦點圓O的直徑為

（1）求橢圓C及圓O的方程；

（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的一點P。

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；

②直線l與橢圓C交于A、B兩點，若△OAB的面積為求直線l的方程。

四、解題啟示

這道解析幾何題，綜合性比較強，有一定的難度，在平時的復習中，要加強綜合性問題的訓練，讓頭腦中零散的知識點能夠通過解題系統化，同時還要進行專題訓練，克服自己的解幾何題的畏懼心理，在考試中能迅速找到解題思路。注意一題多解和一題多變，努力提高運算求解能力。