以小見大 有效拓展
——五年級“水桶分水”習題的拓展性教學思悟

廣西南寧市邕寧區百濟鎮南華小學（530204） 劉愛格

拓展性課程不是無本之木，其源于教材，而高于教材。教材中數學思想豐富，能完整展現思維脈絡的習題是拓展性教學素材的首選。“韓信分油”這一素材之所以會進入教材中，說明其有一定的數學教學價值。五年級教材上有一道與“韓信分油”極其類似的習題——“水桶分水”，它是很好的拓展性教學的素材。

一、選材旨在追本溯源

歷史名題，往往能營造出一種神秘、高深、肅穆的學術氛圍，從而引起學生好奇，激發學生的探究欲望，促使教師在潛移默化中完成數學思想方法的滲透和數學技能的傳授。鑒于此，筆者將注意力集中到古典名題上。數學史上最早關于分油記載的是16世紀，當時赫赫有名的意大利數學家馮坦那提出一個問題：有一瓶8千克的黃油，想倒出4千克，但沒有合適的量器，僅有5千克裝、3千克裝的空油瓶各一個。如何操作能僅用兩個油瓶從8千克的黃油中分出4千克黃油？無獨有偶，我國也有類似的游戲——“韓信分油”，原文是“3斤葫蘆、7斤罐、10斤油簍分一半”，翻譯成白話文，就是利用容量為3斤、7斤和10斤的三種容器平分10斤油。于是，“韓信分油”這一內容的教學由此而產生。

二、建模貴在順藤摸瓜

對于本內容，教材的定位是“就題論題”，許多一線教師也就照本宣科，就事論事。但考慮到名題效應，其蘊含的教學價值是一個無盡的寶藏，值得我們去深挖開采。于是，筆者在扎根教材的基礎上，“借題發揮”，深入拓展延伸“韓信分油”的教學，激發學生的學習熱情，幫助學生生成建模思想，發展抽象思維能力。

三、遷移重在舉一反三

和大多數教師一樣，剛開始筆者對如何教學“韓信分油”一籌莫展，只是引導學生摸索著往下分，直到分出5斤為止。如果僅僅是這樣草草了事，經典名題所蘊藏的數學價值就白白流失了。因此，有必要深入分析分油問題的數學本質。通過分析，分油問題可以抽象出模型7A－3B＝5（7的倍數與 3的倍數之差 5）或者 3B－7A＝5（與3和7勾兌后構成5）。建模能為學生提供分油的方略，接下來學生只需按圖索驥，分步填表即可。

由此可見，教學的難點是讓學生學會建模，把一個復雜的生活問題，提煉抽象成一個直觀簡潔的數學模型，再借助表格法進行推演、運算。因此，教師在教學“水桶分水”時要精心設計教學流程，讓分水的過程具有算術性。

第一步，嘗試著分。坦白講，“水桶分水”習題具有極大的挑戰性。因此，應先用馮坦那的分油問題做引子：水缸邊有容積為5升和3升的兩個空水壺，你能借助它們舀出多少水？有的說“5+3=8（升）”，有的說“5－3=2（升）”，還有的說“3+3-5=1（升）”。這一過程看似贅余，實則“磨刀不誤砍柴工”，學生通過簡易的分水法，獲得寶貴經驗，鋪好臺階，才方便登上高臺。

第二步，比較著分。要求學生嘗試用簡易直觀的方式展現獲取1升水的流程。學生基本上用三種方式：語言描述法、圖示法和表格分析法。先引導學生比較辨析，讓學生發現表格法的簡潔，初步完成模型的抽象提煉；然后再現填表過程，力爭簡短有力；大部分學生認識到表格法對于建模的效果。教師但不能只滿足于此，應進一步要求學生從表格法中歸納提煉出算式。

第三步，模仿著分。原先是用3升水壺舀水，5升水壺倒水。現在反過來操作，合理遷移，合情模仿。允許部分學生憑空想象分水，部分學生填表分水，但無論哪種方法，都要做出解釋。當然，匯報展示時要嘉獎既選擇算式又用表格法的學生，為下一步做好鋪墊。

第四步，有序地分。設計拓展問題：若取水4升，又該怎么分？優生會在分出1升水后，再取3升得到4升；大多數學生會選擇重新推演。教師可用問題“你優先選擇算式還是表格？”來引導學生做出決策。列算式法與表格法的互補作用，能有效引導學生有序分水。

第五步，靈活地分。教學到此，學生會利用5升水壺和3升水壺勻出1升和4升水。這與“韓信分油”有何淵源？抓住這一問題要害，促使學生進行深度研析。學生說：“現在有3個容器。”教師追問：“那剛才呢？”其實剛才也是3個容器，水缸是一個大容器。學生從中明白了簍子相當于水缸，不是參與分水的量器，分水的量具為7斤水壺和3斤水壺。于是得到：3×3-7=2，2+3=5。

對于拓展性教學，對象是所有學生，實現有教無類；選材，要扎根教材，借助數學名題的效應來激趣；教學，要抓住要害，精心設計教學流程。只有這樣，才能使拓展落地生根。