一題多解，促進學生靈活思考
——以“雞兔同籠”問題為例

江蘇灌南縣湯溝小學（222535）

【問題緣起】在一次教研活動上，我們數學教研組首先圍繞“數學好題”展開討論，有的教師認為教材中基礎性的題目就是“數學好題”，因為它們能落實新課標的知識和能力目標；有的教師認為奧數中的題目就是“數學好題”，因為它們能開闊學生的視野，培養學生的數學思維；有的教師認為教材中能用多種方法來解決的一類題目就是“數學好題”，因為它們不僅有助于不同思維層次的學生都尋找到適合自己的解決問題方法，還有助于教師把握學生的數學思維水平。接著，我們進一步篩選“數學好題”的經典范例，最終大家一致推選《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題、“進水出水”問題等為“數學好題”。

在實踐中，我們選擇一道典型的“雞兔同籠”題目“雞兔同籠，共17個頭，42條腿，問雞和兔各有多少只？”來讓不同年級的學生解決。從上交的作業中，我們發現大部分學生都得到了正確答案，但是他們的解法并不相同。比如二年級學生，有的采用畫圖的策略，先畫出一些簡單的幾何圖形表示雞和兔，在不斷修改中促使雞和兔的腿是42條，從而順利地找到雞和兔的數量；有的學生運用乘法口訣來湊數，計算出雞和兔的數量。三、四年級學生除了畫圖、湊數以外，有的學生用列表法將所有可能的答案先羅列出來再進行選擇；有的學生選擇用假設法來解決問題，如先假設17個頭全是雞或者全是兔，再根據“雞與兔的腿相差2條”這個信息調整雞與兔的數量。五、六年級學生解決“雞兔同籠”問題的方法更加多樣化，除了上述方法外，他們還能運用列方程的方法來解決問題，比如設雞有x只，那么兔有（17-x）只，根據“腿有42條”列出方程2x+4×(17-x)=42求出未知數x的值，最后推算出雞和兔的數量。

【本質探求】“雞兔同籠”問題是中國古代著名的趣題之一，它共有8種解法：（1）列表法；（2）畫圖法；（3）“金雞獨立”法：讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只腳站立著，那么此時雞和兔地上的腳數是總腳數的一半，即雞的腳數與其頭數相同，而兔的腳數是其頭數的2倍；（4）吹哨法：假設雞和兔接受過特種部隊訓練，吹一聲哨，它們抬起一只腳；再吹一聲哨，它們又抬起一只腳，這時雞都坐在地上，兔子還有兩只腳立著，這些腳都是兔子的，用此時的腳數除以2就是兔子的只數了；（5）假設法：假設全部是雞或者全部是兔；（6）“特異功能”法：假設雞有特異功能，把兩只翅膀變成2只腳，那么雞也有4只腳，或者假設雞和兔都有特異功能，雞飛起來，兔立起來，那么站在地上的腳全是兔子的；（7）砍足法：假如把每只雞砍掉1只腳、每只兔砍掉2只腳，則每只雞變成“獨角雞”，每只兔變成“雙腳兔”。若籠子里有一只兔子，則它的腳的總數就比頭數多1；（8）方程法：設雞或兔的只數為x，列出方程后計算出雞和兔的只數。

【教學反思】“數學好題”，一好在能夠一題多解，能讓不同思維層次的學生都能得到解題方法，二好在具有開放性，能讓學生開動腦筋、暢所欲言；三好在具有層次性，能讓不同思維層次的學生都能完成對應層次的題目，如讓學優生不斷挑戰高層次題。顯然，“雞兔同籠”問題是一道數學好題，理由如下。

1.一題多解，拓寬學生數學思維。“雞兔同籠”問題，能夠讓不同年級的學生都找到適合自己的解題方法。當然，這些方法有的是低階思維，有的是高階思維，因此在中高年級教學時，教師不妨將學生動腦筋想出來的方法進行比較分析，引領他們從低階思維走向高階思維。

2.舉一反三，促進學生進行數學建模。學生解決“雞兔同籠”問題的過程就是一個數學建模的過程，“雞兔同籠”問題還可延伸到購物問題、工程問題、年齡問題、劃船問題等，只要把題中的事物看成“雞兔同籠”問題中的“雞”和“兔”即可。而當學生掌握“雞兔同籠”問題的解題方法和學會建立“雞兔同籠”問題模型后，他們遇到同類數學問題或者相似的數學問題就能舉一反三、觸類旁通。

總之，教師要充分利用每一道“數學好題”，讓學生經歷充分思考、小組討論、全班分享、個人糾錯等活動，教師還要從一道“數學好題”走向一組“數學好題”，在一組題目中引導學生學會建立數學模型、靈活思考和運用數學知識，從而發展學生的數學思維能力，培養學生的創造性思維。