解決問題教學中數量關系運用的實踐研究

江蘇南京市溧水區和鳳鎮沙塘庵小學（211218）

隨著課程改革的不斷推進，教師對解決問題教學也隨之產生了許多困惑，其中如何運用數量關系便是數學解決問題教學中最大的困惑。數量關系是解決數學問題的基礎和關鍵。在解決數學問題時，首先需要讓學生了解題意，明確題目給出的條件與要解決的問題，明確條件與條件之間存在的關系，這樣才能有效解決問題，提高解題效率。對此，在教學中教師應加強數量關系運用的教學，引導學生對問題進行歸納和總結，學會靈活運用數量關系，從而不斷培養學生構建數量關系的能力，提升學生的思維能力。

一、明確解決問題的結構，鞏固數量關系知識

兩步解決問題教學是解決問題體系的關鍵，明確兩步解決問題的結構，有助于學生在解決問題的過程中厘清數量關系，為解決更復雜的問題與解決策略的多樣化打下堅實基礎。加強兩步解決問題的訓練，能使學生在掌握兩步解決問題的結構的基礎上，學會解決更復雜的數學問題。

首先，出示兩道具有聯系的一步問題，在學生一一解決后再要求他們將兩道題合并為一道題，然后觀察兩組題型之間的聯系與區別。

例如，對于題目“李老師帶來了18個蘋果分給3個學生，已經分了6個，剩下的每人還能分到幾個？”，教師可以采取兩步解決問題的方法，先給學生出示一步問題“李老師帶來了18個蘋果分給3個學生，分了6個，還剩幾個？”，再為學生出示“蘋果還剩下12個，分給3個學生，每人還能分到幾個？”，將一個數學問題分為兩道題，降低了原題的難度，有助于學生厘清解題思路，更好地掌握解決問題的方法。

其次，在學生認識兩步解決問題的方法的基礎上，訓練學生將一步解決問題中的一個信息擴展改編為兩個信息，指導學生將問題的直接條件轉變為間接條件，這樣不僅能使學生了解兩步解決問題的方法是由一步解決問題的直接條件轉變而來的，而且能為學生分析更復雜的問題打下堅實的基礎，提升學生學習數學的能力。

例如，在教學加法問題時，對于題目“班上男生人數為24人，女生人數為72人，求班上一共有多少人？”，教師可將題目的信息擴展為“班上男生人數為24人，女生人數是男生人數的2倍，求班上一共有多少人？”。通過將一步問題改編為兩步問題，并在學生理解的范圍內設置問題，可使學生了解數學問題的本質，促進學生思維能力的發展。

最后，幫助學生對數學問題進行縮題改編，讓其找到中間問題，并將中間問題進行轉換，將兩步問題轉化為一步問題。教師可對學生提出要求：題目的條件不變，改變問題內容，將兩步問題縮題改編為一步問題；題目條件改變，問題內容不變，將兩步問題縮題改編為一步問題。之后，讓學生對題目的不同點與相同點進行表述。通過該訓練，能讓學生學會將間接條件變為直接條件，將兩步問題變為一步問題，讓學生清楚地認識到中間問題的鋪墊作用。

在以上策略的引導下，及在學生積累了一定的基礎數量關系后，教師可對某個專題進行跟蹤研究，指導學生運用方程法解決問題。在專題研究的過程中，學生能夠更好地選取相應的策略方法，并運用數量關系解決問題。

例如，在教學購票的相關知識后，教師可為學生出示兩種購票方案“方案一，成人票120元/人，兒童票50元/人；方案二，團體6人以上（含6人），票價100元/人。”并為學生出示問題：成人有5人，兒童有3人，怎樣購票比較省錢？或成人有3人，兒童有5人，怎樣購票比較省錢？學生在思考問題時，需要針對人數的變化選取相應的解題方案，在這一過程中，學生的發散性思維得到了很好的培養。

二、整合與構建數學模型，活用數量關系

學生在了解與認識兩步解決問題的結構后，也積累了許多常見的基本數量關系，在此基礎上教師可引導學生將這些數量關系整合為一組數量關系，再由此拓展為結構相似的多組數量關系，形成數量關系群。在構建好數量關系群的基礎上，教師應幫助學生通過比較、整合等方法構建相應的數學模型。這樣，不僅能讓學生了解數量關系群的本質，并且還能讓學生抓住數量關系的本質，把握數學模型的構建方法，真正實現了對數量關系的靈活運用。

例如，在教學“速度、時間和路程”的相關知識后，教師可針對數量、總量和單價的數量關系與工作時間、效率和總量的數量關系，為學生設計兩種類型的問題，讓學生自主解決。因為學生對數量關系有一定的了解，所以他們能夠輕易地歸納出兩組數量的關系，之后再引導學生對三組數量關系進行歸納與總結，學生就能在表述與比較中概括出：單價、速度以及工作效率為“每份數”，數量、時間以及工作時間為“份數”，而總價、工作總量以及路程為“總數”，這三組數量關系為份總關系。這樣，在延伸與分析中，學生完整構建了數學模型。在教師的引領下，學生從掌握一個數量關系到掌握一群數量關系，并從中找到數量關系的本質內涵。

在上述教學的基礎上，教師應讓學生通過對比、分析解法的練習，防止學生在解決問題中形成定式思維，幫助學生正確運用數量關系，構建數學模型，掌握多樣化的解決策略。

例如，教師可出示問題“甲學生有4支鉛筆，乙學生的鉛筆比甲學生的2倍少2支，那么乙學生有多少支鉛筆？”和“甲學生有4支鉛筆，比乙學生的鉛筆的2倍少2支，那么乙學生有多少支鉛筆？”，小學生較容易形成定式思維，他們往往看到題目有“少”就減，有“多”就加，對此教師應該采取有效的方法，打破學生的定式思維，讓學生正確理解數量關系，并通過畫圖的方法整理信息，對關鍵句進行詳細的分析，通過對比線段圖表述與文字表述方法的異同，在數形結合的方法中真正掌握數量關系。最后，讓學生對兩組題目的解法與結構進行比較，體會該問題運用列方程的方法更佳。

三、表述解題思路，培養思維能力

在教學中，教師應引導學生對問題的思考過程進行表述，也就是讓學生表述解題思路，學生表述的過程就是形成抽象數量關系的過程。學生在表述過程中可以采用畫線段圖、口述、文字表述等手段，分析問題的數量關系，從而構建數學模型，有效解決問題。

引導學生畫線段圖表述解題思路，呈現數量關系。在學生畫線段圖表述解題思路時，教師需要積極幫助學生梳理信息，為其做好畫線段圖示范，幫助學生了解畫線段圖與梳理條件的方法，并體會線段圖對表述解題思路的好處。經過長時間的訓練后，學生能夠利用畫線段圖的方法整合條件，將解決問題的本質直觀呈現出來，此時，教師需要及時讓學生厘清是運用哪兩個數量畫出線段圖的，能夠求出什么數量。

例如，在教學運用乘法解決問題的相關內容時，教師可為學生出示題目“小明買5個蛋糕，花了20元，買10個這樣的蛋糕，一共需要多少錢？”然后讓學生畫線段圖表述題目的意思。學生通過自主表達題意，更好地梳理了題目中的數量關系，為理解數量關系奠定了基礎。

有了畫圖的基礎，學生在寫解題思路時能更好地梳理數量關系。在開始階段，為幫助有困難的學生找到數量關系，需要引導他們找到數量關系的關系句，將關系句劃分清楚，在明確兩個數量之間的關系后，再將其轉化成數量關系式，為構建數量關系打下基礎。表述解題思路對于學習分數應用題十分重要，通過寫解題思路可讓學生對所學知識進行融會貫通，并為解決問題清掃障礙。

例如，在低年級的學習過程中，教師可要求學生通過畫圖的方法寫出問題“男生人數比女生人數多5人”的數量關系式，再到高年級學習分數應用題“男生人數比女生人數多1/4”時寫出關系式，在此基礎上學生就能聯想到“男生人數是女生人數的5/4”“女生人數是男生人數的4/5”等數量關系，根據此信息能讓學生更好地寫出解題思路，提升學生的解題效率。

讓學生口述題目中的已知條件，檢查學生是否弄懂相關的條件，是梳理問題與條件之間關系的重要過程。學生在教師的引導中能說出解題思路，通過一段時間的訓練后能流暢地運用分析法說明解題思路。

例如，在教學歸總問題時，教師可根據學生已有的歸總問題基礎，幫助學生搭建有效思考問題的橋梁，為學生分析數量關系與解決問題打下基礎。

綜上，教師需要積極引導學生回顧自身解題的思路與過程，并加強反思訓練，從而有效培養學生的思維能力。

例如，在教學“梯形的面積”后，教師給學生出示問題“現在要對合唱表演的隊形進行設計，第一排站6個人，每排人數多2人，一共排成5排，那么這個合唱隊的人數一共有幾人？”學生對問題進行自主思考后，對這個合唱隊形與算式有怎樣的發現呢？學生通過對梯形面積的知識進行反思，發現這個問題能夠運用梯形面積公式的原理得出，有效鞏固了梯形面積的數量關系與計算公式。解決問題的方式與數量關系有著密不可分的聯系，教師需要采取多樣化的策略進行有機滲透，引導學生對數量關系進行構建，不斷提升學生的思維能力。

總之，對數量關系的理解與運用是小學數學解決問題教學的重點內容，教師在引導學生運用數量關系解決問題時，需要引導學生運用已學的知識解決問題，強化數學知識的實用性，并且還要重視學生構建數量關系的過程，不斷提升學生的解決問題能力，培養學生的思維能力。