素養(yǎng)修煉無(wú)“近路”
——小學(xué)數(shù)學(xué)“積淀”式教學(xué)的實(shí)踐與思考

江蘇鹽城市建湖縣教育局教研室（224700）

文化底蘊(yùn)的厚重，需要通過(guò)千百年的傳承和發(fā)揚(yáng)，這種傳承和發(fā)揚(yáng)就是文化的積淀。作為人類文化的重要組成部分——數(shù)學(xué)，其相關(guān)的教育卻似乎走入了一種誤區(qū)：快節(jié)奏、高強(qiáng)度、急于求成。課堂上，只關(guān)注結(jié)果，過(guò)程能省則省；思維上，淺嘗輒止，想當(dāng)然地認(rèn)定結(jié)論；方法上，自創(chuàng)捷徑，不合理地遷移......學(xué)生會(huì)認(rèn)為這種“近路”是“聰明”，而教師以尊重學(xué)生為由，默許了學(xué)生的這些不規(guī)范，甚至為了提高所謂的教學(xué)成績(jī)，自己也會(huì)有這種“抄近路”的行為，比如快節(jié)奏地講課、高強(qiáng)度地練習(xí)。這種“近路”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的形成、方法的掌握、核心素養(yǎng)的養(yǎng)成等方面是百害而無(wú)一利的。數(shù)學(xué)既然作為人類文化的一個(gè)重要組成部分，來(lái)不得半點(diǎn)虛假，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能急功近利，需要持續(xù)而不斷的積淀。

一、于情境和文化中積淀興趣

斯卡納金說(shuō)過(guò)：“如果學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)愿望，我們的一切想法、方案、設(shè)想，都將化為灰燼，變成木乃伊。”學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)愿望是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在，創(chuàng)設(shè)生活情境、問(wèn)題情境，向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)家的故事等，都是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效手段。

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

現(xiàn)代心理學(xué)和行為科學(xué)指出：引發(fā)兒童的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，是成功的教學(xué)過(guò)程中所不可缺失的重要環(huán)節(jié)。因而，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，既能滿足學(xué)生好奇、好問(wèn)的天性，使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，又會(huì)使學(xué)生感覺(jué)到所接觸的學(xué)習(xí)材料是符合自我需要的，而學(xué)生一旦產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需要，他們就會(huì)積極而主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)。

例如，學(xué)習(xí)“年、月、日”時(shí)，學(xué)生由于已經(jīng)接觸過(guò)“×年×月×日”，所以認(rèn)為要知道日期，只需查看日歷即可，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到年、月、日內(nèi)在的聯(lián)系，也就不能產(chǎn)生認(rèn)知的需要。課始，教師可設(shè)置懸念：“小明的爺爺?shù)浇衲隇橹怪贿^(guò)了18個(gè)生日，誰(shuí)知道小明的爺爺今年有幾歲?”學(xué)生不假思索地回答：“18歲。”教師追問(wèn)：“爺爺18歲，他兒子幾歲?能有孫子嗎?”學(xué)生恍然大悟，哄堂大笑，齊聲回答：“不能有孫子。”那么小明的爺爺?shù)降资菐讱q呢？至此，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知的需要，教師就可適時(shí)導(dǎo)入新課。這樣的談話迎合了學(xué)生的認(rèn)知需要，學(xué)生產(chǎn)生了求知的欲望。

2.文化滲透，維持興趣

運(yùn)用情境、媒體等外界手段進(jìn)行教學(xué)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)只是一種外界的強(qiáng)化，是感官的刺激。小學(xué)生的注意力易受外界的影響與干擾，所以要保證這種學(xué)習(xí)興趣的持久性，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)的好玩，進(jìn)而產(chǎn)生“玩”好數(shù)學(xué)的欲望。從小學(xué)到中學(xué)，再到大學(xué)，學(xué)生都在學(xué)數(shù)學(xué)，那么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的究竟是什么?難道僅僅是獲得一些知識(shí)與一大堆的公式和結(jié)論？顯然不是。如果只是單純的知識(shí)教學(xué)，不但會(huì)使學(xué)生學(xué)得累，也會(huì)使學(xué)生喪失剛剛萌發(fā)的學(xué)習(xí)興趣。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)上升到文化層面，使學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)不僅是知識(shí)，更是素養(yǎng)的提升和文化的傳承。數(shù)學(xué)教育家波耶說(shuō)過(guò)：“科學(xué)不僅是生活的工具，也是一種思想的習(xí)慣。而數(shù)學(xué)則不僅是一大堆算法，也是文化的一個(gè)組成部分。”對(duì)學(xué)生而言，興趣是最好的老師，一句話、一個(gè)故事，或許就會(huì)成就一位數(shù)學(xué)家。因此，教師可以介紹數(shù)學(xué)家的故事，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家廢寢忘食的科學(xué)精神與孜孜不倦的科學(xué)態(tài)度；可以列舉數(shù)學(xué)歷史名題，向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力，啟迪他們的心智，激蕩他們的心靈；也可以向?qū)W生揭示知識(shí)產(chǎn)生的背景，消除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼感，使他們?cè)趦?nèi)心深處親近數(shù)學(xué)。

二、于自學(xué)和對(duì)話中積淀能力

有人說(shuō)：“21世紀(jì)的文盲，不再是不識(shí)字的人，而是不會(huì)學(xué)習(xí)的人，無(wú)論是誰(shuí)，都應(yīng)當(dāng)樹(shù)立終身學(xué)習(xí)的理念。”因此，掌握有效的學(xué)習(xí)方法就顯得尤為重要。科學(xué)有效的學(xué)習(xí)方法，是以學(xué)習(xí)效率為前提的，學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)需要教師不斷地努力。

1.在個(gè)體探索中訓(xùn)練自學(xué)能力

“好動(dòng)”是學(xué)生的天性。學(xué)生在成長(zhǎng)的過(guò)程中總是通過(guò)自身的活動(dòng)去認(rèn)識(shí)世界、體驗(yàn)生活和學(xué)習(xí)本領(lǐng)的。針對(duì)學(xué)生“好動(dòng)”的這一特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)有效的操作實(shí)踐活動(dòng)，能激活學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需求。因此，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生“好動(dòng)”的天性，投其所好地營(yíng)造生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)氛圍，創(chuàng)設(shè)適應(yīng)學(xué)生需求和發(fā)展的操作實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在剪、量、折、拼等活動(dòng)中學(xué)會(huì)自學(xué)。

例如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，教師可以讓學(xué)生按照下列步驟展開(kāi)操作活動(dòng)：（1）量一量，讓學(xué)生分別剪出大小不同的任意三角形，并量出每個(gè)三角形的各個(gè)角的度數(shù)；（2）算一算，讓學(xué)生算一算每個(gè)三角形三個(gè)角的度數(shù)和是多少；（3）折一折，要求學(xué)生將自己剪出的三角形的三個(gè)角向一條邊折，使三個(gè)角拼在一條直線上，形成一個(gè)180度平角。通過(guò)這樣的量、算、折、拼，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)從具體到抽象、從特殊到一般的形成過(guò)程，同時(shí)也領(lǐng)略到動(dòng)手操作的樂(lè)趣，他們根據(jù)教師給出的步驟自己探索，自己總結(jié)和歸納，形成了一定的自學(xué)能力。

2.在交流對(duì)話中提升合作能力

美國(guó)教育家格林·伯克爾曾說(shuō)：“課堂其實(shí)就是一種對(duì)話。”事實(shí)上，課堂教學(xué)是師生之間、生生之間、生本之間的多向交流和互動(dòng)。教師應(yīng)在學(xué)生個(gè)體“自動(dòng)”的基礎(chǔ)上突出群體的“互動(dòng)”，也就是要充分發(fā)揮學(xué)生群體之間的智慧。

例如，一位教師在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“校園的綠化面積”（即組合圖形的面積）時(shí)，首先出示題目“學(xué)校里有一塊不規(guī)則圖形的花壇（圖略），你能用學(xué)過(guò)的方法計(jì)算出它的面積嗎？”學(xué)生都爭(zhēng)先恐后上臺(tái)展示自己的方法，課堂氣氛相當(dāng)活躍。教師充分肯定學(xué)生的表現(xiàn)后，就馬上進(jìn)入下一環(huán)節(jié)的教學(xué)。這樣看似已經(jīng)完成了相應(yīng)的知識(shí)教學(xué)任務(wù)，但仔細(xì)研究，不難發(fā)現(xiàn)其中的不足：“校園的綠化面積”是一節(jié)實(shí)踐活動(dòng)課，其目標(biāo)不單是得出一兩個(gè)組合圖形的面積計(jì)算方法，更重要的是訓(xùn)練能力——估計(jì)能力、測(cè)量能力、應(yīng)用能力、轉(zhuǎn)化能力。然而在上述教學(xué)中，同伴交流變成方法的堆積，只有量的積累而沒(méi)有質(zhì)的突破，這對(duì)于學(xué)生思維能力的提升并沒(méi)有多大的價(jià)值。如果教師能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相應(yīng)的解題方法進(jìn)行分析、比較和歸類，進(jìn)而提煉出一類問(wèn)題的思考解題思路與方法，就能為提升學(xué)生的解題能力和思維能力鋪路。這樣，在不同解法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分類，尋找聯(lián)系，就能夠促進(jìn)學(xué)生由表及里地思考，提高他們和自己對(duì)話、和同伴對(duì)話、和教師對(duì)話的能力。

三、于活動(dòng)和過(guò)程中積淀經(jīng)驗(yàn)

心理學(xué)指出：在比較穩(wěn)定的知識(shí)背景上，運(yùn)用變化的刺激容易成為感知的對(duì)象。因而，教師要將靜態(tài)的課本知識(shí)轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)的活動(dòng)過(guò)程，使學(xué)生在活動(dòng)和過(guò)程中積淀經(jīng)驗(yàn)。

1.在活動(dòng)體驗(yàn)

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“對(duì)書本中的原理、定理、公式，我們不僅要記住結(jié)論，而且還要設(shè)想一下人家是怎樣想出來(lái)的，只有經(jīng)歷了這樣的探索過(guò)程，數(shù)學(xué)的思想方法才能凝聚在這些結(jié)論上，從而使知識(shí)具有更大的智慧。”

例如，圓錐的體積公式中有一個(gè)“三分之一”，在公式的學(xué)習(xí)、鞏固以及總結(jié)中，教師都會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)。結(jié)果，對(duì)于題目“一個(gè)圓柱形鐵塊的底面半徑為3厘米，高為10厘米，將其鑄成圓錐形零件，這個(gè)零件的體積是多少立方厘米？”學(xué)生在列式解題時(shí)還是會(huì)想都不想地就乘，究其原因是教師和學(xué)生都只是“見(jiàn)葉不見(jiàn)枝，見(jiàn)木不見(jiàn)林”。為了改變上述現(xiàn)象，教師可以設(shè)計(jì)以下活動(dòng)：首先，出示一些不規(guī)則的石塊，提問(wèn)：“怎樣才能測(cè)出這些石塊的體積？”其次，將石塊改成圓錐，提問(wèn)：“上升的體積還等于圓錐的體積嗎？”接著，將量杯換成圓柱形容器，“想一想，如何利用這個(gè)已經(jīng)告訴我們底面半徑的容器來(lái)測(cè)量圓錐的體積呢？將圓錐放入水中，在完全浸沒(méi)的情況下，上升的這一段水柱體積與圓錐的體積有怎樣的關(guān)系？如果此時(shí)要求圓錐的體積，實(shí)際是求什么的體積？為什么不需要乘呢？”這樣的設(shè)計(jì)，主要是讓學(xué)生直觀感受到“圓錐的體積等于上升的水柱的體積，而如果容器為圓柱形，則上升的這一段水柱也為圓柱，要求圓錐體積，在這里其實(shí)就是求上升的這一段圓柱形水柱的體積，故不需要乘”，進(jìn)一步把握知識(shí)的本質(zhì)，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)思維能力的發(fā)展。

2.在過(guò)程中強(qiáng)化

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是一個(gè)循序漸進(jìn)、螺旋式上升的過(guò)程。某一新知總是與相關(guān)的舊知相聯(lián)系，對(duì)此教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適宜的情境，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過(guò)程。

例如，對(duì)于圓柱的體積，傳統(tǒng)教學(xué)是以驗(yàn)證性操作為主，即把圓柱切拼成近似的長(zhǎng)方體，找出長(zhǎng)方體與圓柱之間的體積、底面積相關(guān)的關(guān)系，進(jìn)而推導(dǎo)出圓柱的體積公式。在這一過(guò)程中，盡管教師留有足夠的時(shí)間和空間讓學(xué)生討論、操作、思考，但往往忽視了根本性問(wèn)題：為什么要學(xué)習(xí)圓柱的體積？為什么一定要切拼成長(zhǎng)方體？怎樣想到切拼成長(zhǎng)方體的？對(duì)此，教師可先出示一個(gè)圓柱形容器（里面裝有一部分紅色的水）和一個(gè)長(zhǎng)方體容器，提問(wèn)：“怎樣求出水的體積？”學(xué)生因?yàn)橹粚W(xué)過(guò)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算方法，很容易想到將水倒入長(zhǎng)方體后再求體積。接著，教師出示一個(gè)橡皮泥捏成的圓柱體，再問(wèn)：“還有辦法求出這個(gè)圓柱的體積嗎？”學(xué)生能想到將橡皮泥捏成長(zhǎng)方體后再計(jì)算體積。教師追問(wèn)：“如果是大廳的圓柱形柱子，還能用倒水或捏的方法解決嗎？又該怎么辦？”這樣的認(rèn)知沖突，使學(xué)生產(chǎn)生探尋計(jì)算圓柱體積的一般方法的需求。教是為了不教，教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程，使其強(qiáng)化對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，進(jìn)而內(nèi)化為自己的東西，再生成新的經(jīng)驗(yàn)和技能。長(zhǎng)此以往，學(xué)生就會(huì)“積淀”出終身受用的方法和能力、經(jīng)驗(yàn)和技能。

四、于解題和思悟中積淀思想

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“教育就是一個(gè)人離開(kāi)學(xué)校以后，將學(xué)校所教的東西忘記以后，所剩余的東西。”知識(shí)會(huì)遺忘，技能會(huì)生疏，但解決問(wèn)題的思想和方法不會(huì)遺忘，內(nèi)在的探索未知的精神和品質(zhì)不會(huì)遺忘。因此，解決問(wèn)題以及學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的思悟活動(dòng)，是學(xué)生積淀數(shù)學(xué)思想的重要組成部分。

1.在問(wèn)題解決中感知數(shù)學(xué)思想

教師常常有這樣的困惑：“學(xué)生數(shù)學(xué)練習(xí)并不少，老師講得也不少，但學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題時(shí)，尤其是條件稍許改變了的題目，他們就不知所措。學(xué)生總是停留在模仿解題的水平上，一直不能形成較強(qiáng)的解決問(wèn)題的能力，更談不上創(chuàng)新能力的形成。”究其原因，就是教師平時(shí)注重的只是知識(shí)訓(xùn)練，偏重于就題論題，有時(shí)還會(huì)自作聰明地加一些“捷徑”，使得學(xué)生只會(huì)做題，不會(huì)思考，這種題海戰(zhàn)術(shù)的后果是“熟能生笨”。因此，教師在教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透。其實(shí)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并不是簡(jiǎn)單的告知，而是與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，以及解決問(wèn)題的過(guò)程密不可分。

例如，進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)的加減，首先要將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，這一轉(zhuǎn)化就是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的一種數(shù)學(xué)思想的累積。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思想方法的滲透，有一個(gè)從模糊到清晰、從未形成到形成再到成熟的積淀過(guò)程，教師要研究教材，研究每一知識(shí)點(diǎn)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并思考怎樣教學(xué)，怎樣向?qū)W生滲透。一般來(lái)講，低中年級(jí)的新授課，以知識(shí)探究、解決問(wèn)題為主線，以思想方法為暗線，但在知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程，以及階段復(fù)習(xí)，數(shù)學(xué)思想則需“露面”，教師要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行必要的提煉、歸納和概括。

2.在思悟活動(dòng)中積累數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法不同于知識(shí)與技能，知識(shí)與技能傾向于教師的“教”，這種“教”的成效是快速而明顯的。數(shù)學(xué)思想側(cè)重于學(xué)生的思悟和積累。

例如“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”是小學(xué)階段比較重要的知識(shí)點(diǎn)，也是學(xué)生感到頭痛的知識(shí)點(diǎn)，而解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是“量率對(duì)應(yīng)”。因而，教師無(wú)論在教學(xué)簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，還是復(fù)雜分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，都應(yīng)要求學(xué)生從一而終地用對(duì)應(yīng)思想或數(shù)形結(jié)合的思想，找出問(wèn)題中的對(duì)應(yīng)量與對(duì)應(yīng)分率。教師在教學(xué)時(shí)可以將數(shù)學(xué)思想結(jié)構(gòu)化、模塊化，使學(xué)生能學(xué)一題、會(huì)一類、懂一片，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想結(jié)構(gòu)。教師要研究教材中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，“連線”研究，從而形成一條條系統(tǒng)的方法鏈。數(shù)學(xué)思想適合“逐步滲透”，這種滲透的過(guò)程是長(zhǎng)期的、持久的，但帶來(lái)的效果卻是緩慢的、不明顯的。今天滲透這種方法，明天還要滲透；今年說(shuō)了這種方法，明年還要說(shuō)。教師也許會(huì)有這樣的體會(huì)：突然有一天，學(xué)生會(huì)給你帶來(lái)一個(gè)驚喜：對(duì)于某個(gè)很有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，他會(huì)將某一類數(shù)學(xué)思想方法遷移其中并加以靈活運(yùn)用。

“慢慢走，欣賞啊！”這是阿爾卑斯山谷的一條標(biāo)語(yǔ)，學(xué)生素養(yǎng)的形成、發(fā)展也是如此，沒(méi)有“近路”，只有慢慢地“積淀”。