數(shù)學(xué)的根本概念

郎得蘭

（甘肅省古浪縣第三中學(xué)，甘肅 古浪）

中國科學(xué)院李邦河院士說：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。”在一線教學(xué)多年，也深刻體會到概念教學(xué)的重要性。數(shù)學(xué)教學(xué)的每一章節(jié)開始的概念教學(xué)，總叫人頭疼，總是花最大的力氣，最多的精力，最長的時間。但往往學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念遺忘得那么快，特別是經(jīng)過一段時間后，學(xué)生似乎對每個數(shù)學(xué)概念都得要重新認識，歸根結(jié)底是學(xué)生沒有很好地理解數(shù)學(xué)概念，只停留在表面，或許只是機械地記憶。做題時也只能簡單地模仿。一旦稍有變化，就手足無措了。因此我們需要全方位地理解數(shù)學(xué)概念，才能在數(shù)學(xué)解題中得心應(yīng)手，才能不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與思維品質(zhì)。以下筆者結(jié)合在教學(xué)中遇到的一些問題，從數(shù)學(xué)概念的教學(xué)與數(shù)學(xué)概念的運用兩方面加以闡述，敬請各位同仁斧正。

一、數(shù)學(xué)概念教學(xué)重在理解

比如在導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)中，我們在學(xué)生初步掌握導(dǎo)數(shù)定義的基礎(chǔ)上，要讓學(xué)生能夠用自己的語言精確地描述導(dǎo)數(shù)的定義，進而深入理解導(dǎo)數(shù)的概念。我們要從三個關(guān)鍵點入手：第一個關(guān)鍵點是對定義中區(qū)間（a，b）的理解；第二個關(guān)鍵點是對式子的理解；第三個關(guān)鍵點是要趨近于一個“常數(shù)A”。尤其是第二個關(guān)鍵點，我們要特別關(guān)注，一是要注意等式右邊的結(jié)構(gòu)特征，這是一個關(guān)于平均變化率的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)類型我們可以與函數(shù)的單調(diào)性或＞0）的定義來進行對比學(xué)習(xí)，把這兩種關(guān)系聯(lián)系起來，有助于學(xué)生理解平均變化率。二是在式子中，Δx是一個變化的量，既可以從大到小，也可以從小到大，也就是說這個不一定就是正數(shù)，如果從左面遞進，那它也可以是一個負數(shù)，不論平均變化率如何上下波動，導(dǎo)數(shù)的值同樣是一個常數(shù)，也就是定義中的常數(shù)A。

學(xué)生有了對導(dǎo)數(shù)概念的深入理解后，在導(dǎo)數(shù)有關(guān)的題目解答中，才能隨機應(yīng)變。

二、數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵是概念

利用數(shù)學(xué)概念解題，可以深化理解概念，縮短解題過程，提升數(shù)學(xué)能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，開發(fā)學(xué)習(xí)潛能。

A是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

B是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

D是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

點評：本題考查了奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義以及如何判斷一個函數(shù)的單調(diào)性。本題關(guān)鍵是要熟知奇偶函數(shù)與單調(diào)函數(shù)的定義，只有掌握了定義，才能夠解答題目。

每個數(shù)學(xué)概念都有其深刻嚴謹?shù)乃枷雰?nèi)涵，是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。近年來高考試卷也很好地考查了數(shù)學(xué)概念，設(shè)計數(shù)學(xué)概念的考題清楚明了，又有一定的深度。由此，在平常的教學(xué)中，應(yīng)該重視概念教學(xué)，這會讓我們不斷豐富自己的知識架構(gòu)，并能通過本質(zhì)思考更深的現(xiàn)象。

三、高考數(shù)學(xué)的根源是概念

近年來，高考數(shù)學(xué)摒棄了“偏、難、怪”，解法也杜絕“絕、冷、超”，試題更平穩(wěn)，更加注重課本，課本中的基本概念是高考試題的源頭，是考生取得理想成績的源頭，脫離了課本概念追求能力培養(yǎng)與核心素養(yǎng)的提升就是無源之水、無本之木。

例2（.2018全國2卷22題）在直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線 l的參數(shù)方程為t為參數(shù)）.

（1）求C與l的直角坐標方程。

（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1，2），求直線l的斜率。

解析：本題考查坐標系與參數(shù)方程的基本數(shù)學(xué)概念，第（1）問考生通過消參的方法很容易就能拿下，要注意直線的直角坐標方程要看是否存在斜率，本題通過cosθ是否為零來討論；第（2）問是常規(guī)的相交弦或者中點弦問題，利用設(shè)而不求的基本方法就可以求出直線的斜率，不過要求考生要熟練掌握運算方法，尤其要理解參數(shù)的幾何意義，這樣運算就更加簡單明了。

這只是高考真題的一例，縱觀近年的高考試卷，每一個試題都可以追溯到一個熟悉概念，甚至多個熟悉概念，例如常考的數(shù)學(xué)概念有：復(fù)數(shù)、集合、函數(shù)、向量、圓錐曲線、數(shù)列、概率等。每一個題目的考查萬變不離其宗，這就要求我們老師在平時教學(xué)中，要對教材進行充分的鉆研，對課本中的概念、例題、習(xí)題慢慢體會，仔細琢磨，領(lǐng)會專家編寫教材的意圖，進一步促進學(xué)生思維能力的培養(yǎng)與提高。

數(shù)學(xué)知識的起點是數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)概念就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，解決數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該從正確理解數(shù)學(xué)概念出發(fā)，抓住概念的本質(zhì)，這樣才能幫助我們更好地制訂解決問題的策略，教學(xué)中緊緊抓住數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，才能提升學(xué)生的理解能力，也有助于我們提升課堂教學(xué)的有效性。