數學思想方法在高中數學教學中的應用

時國峰

（甘肅省臨夏中學，甘肅 臨夏）

數學思想主要是通過教師對數學理論和內容本質的認識，然后將其歸納并傳授于學生，而數學方法是數學思想具體化的表現，兩者本質是一致的，只是從不同角度去思考數學問題，但都歸于數學思想方法中。數學思想一般被分為四種：函數與方程、轉化與化歸、分類討論以及數形結合。

一、數形結合數學思想

數形結合在高中數學中屬于重點掌握的一項數學應用，比如實數、代數式、方程組以及不等式組與函數，這些可統稱為純粹的數知識，而被數學教育家成為形的知識有平面幾何、立體幾何，數形結合就是在數的知識的基礎上對幾何進行解析，解析的過程對學生的數學思想要求很高，需要以形助數和以數輔形。以形助數主要是借助形的生動與直觀的特性去闡述數與形之間的聯系，最終將數更直觀地表達出來，比如高中數學教材中通常都會應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；以數輔形主要是通過利用數學的精確度以及它嚴密可尋的規律找出形內在的關聯，例如用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

數學家曾說過，數學是研究我們現實世界中的量關系與空間形成的科學方法。數形是將數學問題所需的條件以及最終的解答結論結合并對其進行分析，同時為高中生學習數學思想提前埋下了種子，通過幾何更加直觀地理解數形，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數”和“形”的矛盾的統一。華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好。

數形結合的思想，主要是將抽象的數學語言與直觀的圖象相結合之后能夠讓人們更直接地理解數學。它不僅可以讓代數問題幾何化，還能夠將幾何問題數學化，其中的關鍵點是代數問題和圖形之間的轉換。在轉換時，要注意引導學生，讓學生能夠清楚明白數形結合所有可能運用到的概念以及運算的幾何意義跟曲線所代表的代數特征。在運用數形結合時要恰當設置參數、結合已知條件建立關系，做好屬性轉換的準備。

二、分類討論思想方法

在進行數學問題的討論時，我們會遇到各種各樣的問題，對于這些不同問題我們要進行分類并分開求解，最終綜合得解，這就是分類討論法。分類討論在數學思想中是常用的一種邏輯方法，也是最重要的數學思想之一，如果運用嫻熟對學生解題會帶來更大的幫助。分類討論通過化整為零的方法將已知條件分類，通過相關的信息分別得出答案后，最終結果相加。分類討論能夠培養人的思維能力、邏輯條理的搭建以及對問題的概括，分類討論在高考試題占很大的分值。

在高中數學中，我們一般會遇到以下幾種情況：

1.對數學問題進行分類定義。如|a|的定義分 a＞0、a＝0、a＜0 三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

2.關于數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。

3.解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式 ax＞2 時分 a＞0、a＝0 和 a＜0 三種情況討論。這稱為含參型。

以上三種問題都能夠通過先對問題的對象進行范圍限定，然后進行合理的分類，一一作出解答之后再進行綜合，得出的結論就是最終的正確結果。

三、函數與方程的思想方法

函數思想主要是通過利用函數的概念去分析問題，通過運用數學語言對問題的數量進行轉換，轉換為數學模型并通過方程的方式對問題進行求解。最著名的笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題是函數與方程最主要的計算方式。在數學中只要有等式的地方就有公式與方程，想到求解就需要解答方程，函數與方程其實并沒有太大的區別，比如函數y＝f（x），就可以看作關于x、y的二元方程f（x）－y＝0。不難看出求解函數跟方程是息息相關的，列方程并進行解答等一系列過程與函數是分不開的，一般情況下函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f（x）的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。

四、結束語

總之，數學思想的形成是在我們讀書時代通過培養所形成的，這個形成過程主要是通過多接觸數學解題，在解題過程，從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換這個過程便是我們形成數學思想的過程。教師在對高中學生進行授課時，要想辦法將學生遇到的新問題轉化為他們熟悉的問題，再將問題由特殊到一般，從具體走向抽象，這樣才能夠更好地幫助學生構建數學思想。