高中數(shù)學(xué)“一題多解”學(xué)習(xí)心得管窺

趙雨茜

（南京市第十三中學(xué)，江蘇 南京）

“一題多解”指的是以題目為中心，借助所學(xué)習(xí)到的各種知識(shí)從多層面分析與思考各個(gè)數(shù)據(jù)關(guān)系，從而獲得多種解題思路與方法。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“一題多解”是鍛煉同學(xué)們發(fā)散思維能力的有效方式，也是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的一種形式，可推動(dòng)同學(xué)們數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的優(yōu)化。我在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中深深體會(huì)到“一題多解”的應(yīng)用可幫助我拓展解題思路，更好地把握各種類型數(shù)學(xué)題目的解題模式，是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的有效措施。下面我將根據(jù)多種類型的數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用“一題多解”的思路完成解題任務(wù)，以期可對同學(xué)們發(fā)展發(fā)散性思維、增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力提供參考。

一、在三角函數(shù)解題中應(yīng)用“一題多解”的策略

例 1：求解 cos48°的值。

該例題的解題方法有兩種，在高中數(shù)學(xué)實(shí)際的解題過程中，同學(xué)們可從多個(gè)層面與角度進(jìn)行分析。具體如下：

解法1：求解cos48°的值。

解：cos48°=cos（30°+18°）

=cos30°cos18°-sin30°sin18°

下面只需求 cos18°、sin18°即可

∵sin36°=cos54°

∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°

∴2sin18°=4cos218°-3

∴2sin18°=4-4sin218°-3

4sin218°+2sin18°-1=0

解出 sin18°，即可求 cos18°

解法2：還可摒棄用基本定理進(jìn)行解題的方法。在實(shí)際的題解過程中，我們可假設(shè)等腰△AMN的頂角是48°，剩余兩角均是66°。此時(shí)，我們可以得知∠AMN的平分線與∠MAN的平分線相交于點(diǎn)D。從這里我們可以得知△AMN與△MND的關(guān)系為相似。因?yàn)镸N、AD、MD三者相等，那么可以得出MN2=AM×MN。借助對正弦定理的英語可以得出 sin66°·sin48°=2cos248°，由此可解出題目答案。

從該題目的解題過程能夠得知，在兩種解題方法思路各有特點(diǎn)，在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)方面也有較大差異。借助對學(xué)生解題思路的科學(xué)延伸，可從多個(gè)層面與視角求解題目，熟練掌握各種解題思路之后，就可實(shí)現(xiàn)舉一反三，以便找出更便捷的解題方法，有助于同學(xué)們解題能力的提升。

二、在解析幾何解題中應(yīng)用“一題多解”的策略

例2：求過直線N：2x+y+4=0與圓Z：x2+y2+2x-4y+1=0交點(diǎn)，并且經(jīng)過原點(diǎn)的另一個(gè)圓M的方程式。

解法1：假設(shè)所求圓M的方程式是：y=x2+y2+Px+Qy+R=0，由于已知該圓經(jīng)過原點(diǎn)，那么R=0，則圓M對應(yīng)的方程式是：y=x2+y2+Px+Qy=0。在這種情況下，圓心對應(yīng)的坐標(biāo)是（），圓心的坐標(biāo)L為（-1，2），經(jīng)過圓Z與圓M交點(diǎn)對應(yīng)的直線方程式應(yīng)是：（P-2）x+（Q+4）y-1=0，這一直線方程式應(yīng)該就是直線 N：2x+y+4=0，所以可以得出因此可以計(jì)算出最終推導(dǎo)出圓M對應(yīng)的方程是：

解法2：根據(jù)題目中已知條件，可以計(jì)算出直線N和圓M的兩個(gè)交點(diǎn)交點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，將具體的坐標(biāo)帶入直線N與圓M聯(lián)立的式子中，將y消去可以得出：5x2+26x+33=0，其中E對應(yīng)的坐標(biāo)是（-3，2），F(xiàn)對應(yīng)的坐標(biāo)是（）。假設(shè)所求圓M的方程式是：y=x2+y2+Px+Qy+R=0，由于已知該圓經(jīng)過原點(diǎn)，那么R=0，則圓M對應(yīng)的方程式是：y=x2+y2+Px+Qy=0。把E、F坐標(biāo)具體數(shù)值帶入圓M的方程式中可以計(jì)算出：2Q-3P+13=0；10Q-55P+125=0。最后計(jì)算出。那么圓M對應(yīng)的方程式是y=x2+y2+

從例3的兩種解題方法同學(xué)們可以看出，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)思想，就會(huì)獲得不同的解題思路與解題線索。因此，同學(xué)們在解答高中數(shù)學(xué)幾何題的過程中，應(yīng)精準(zhǔn)把握題目中的數(shù)量關(guān)系，并借助一定的數(shù)學(xué)思想理出解題思路，從而使得較為復(fù)雜的題目可迎刃而解。

總之，高中數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的邏輯性，各個(gè)章節(jié)甚至多個(gè)章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)之間都存在密切聯(lián)系，只有做到融會(huì)貫通才能使得同學(xué)們在遇到難題時(shí)柳暗花明，才能獲得多種解題方法，以便推動(dòng)自身發(fā)散思維能力及學(xué)以致用能力的顯著提高。