初中數學教學中數形結合的思想方法的滲透

（綿陽市梓潼縣文昌中學 四川綿陽 622150）

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過"以形助數"或"以數解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的。這既符合初中生的認知能力，又能達到培養初中生的思維能力。在初中數學教學過程中應用數形結合方法，主要是將數學中抽象的語言與直觀的圖像結合起來開展教學活動，將抽象思維和形象思維結合起來，使學生能更加容易地解答困難的題目，更深刻的記憶和理解代數運算。[1]

一、初中數學數形結合思想的教材研究

曾經初中數學教材分為兩大版塊：“代數”與“幾何”，之后數學教材經歷了若干次改革，在新課改的要求中，數學中的“代數”和“幾何”就成為不可分割兩個認知內容，變得數中有形，形中有數，代數和幾何相互穿插，用形來解決和幫助理解數的問題，用數解決，歸納，計算形的問題。二者不僅僅是表層意義上的結合，更關鍵的是思想上的結合，這就潛移默化地強調了數學中的“數形結合”這一重要的思想方法。仔細研讀人教版初中數學教材（2007-10 第 3 版），不難發現“數形結合”思想如同一條主線，貫穿了初中數學的始終。新課程標準（2011 年版）指出：“數學中有一些重要內容、方法、思想是需要學生經歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，如分數、函數、概率、數形結合、邏輯推理、模型思想等 。”這就要求學生具備數形結合思想方法，并運用它來幫助學生理解教材中知識，并解決實際問題。[2]

縱觀整套人教版初中數學的教材，可以把數形結合思想分為以下三種主要形式：以數化形、以形變數、形數互變。

二、初中數學數形結合思想的實際應用案例

數形結合思想是初中數學學習新的概念一種基礎理解方法和解題中的一種基礎思維方法， 通過與圖形結合的方式來形象的理解抽象的概念和梳理一些解題思路，能夠有效降低理解概念和解題難度，進而提高學習數學概念的能力和提高解題效率與準確性。

1. 應用數形結合思想解決一元一次不等式

在初中階段，不等式位于一次方程（組）之后，它是進一步探究現實世界數量關系的重要內容，不等式的研究從最簡單的一元一次不等式開始，它不同于一次方程解的唯一性，滿足不等式的解的不唯一性成為學生理解的一個障礙。需要借助數軸從形的角度描述不等式的解集。

教材第九章的內容是“不等式與不等式組”。本章第 1 節“不等式及其解集”從汽車勻速行駛這一問題出發，由“路程、速度、時間”三者的關系得出關系式

并由此得出不等式的概念。在課堂教學中筆者設計安排通過多次“試值”，驗證一系列數是否滿足不等式，發現有些數能使不等式成立，有些數不能使不等式成立，由此得出“不等式的解”的概念，從而使學生認識到不等式解的無限性，由此得出“解集”概念，并用數軸來表示此解集，最后總結“一元一次不等式”的概念。

用數軸來表示數在前面認識實數的時候已經體現了數形結合的思想，用數軸來表示數集比用數軸表示數又進了一步。教材在“不等式的解集”的概念之后，立即就給出了用數軸表示不等式的解集的方法，使學生直觀地看到不等式的解有無限多個，并從直觀上理解“不等式的解集”與方程的解的區別，加深學生對解集的理解。這里借助數軸表示不等式解集，僅是讓學生對此有個初步的認識，在之后確定一元一次不等式組的解集時，利用數軸更為有效。

本章第 3 節“一元一次不等式組”把數形結合思想體現地更加淋漓盡致。而這種思想延續到了高中的解一元二次不等式，分式不等式等等。

2.應用數形結合思想解決三角函數

三角函數是一個十分重要的概念，初中的銳角三角函數有利于幫助解決測量，坡度，航海等問題，再現了三種銳角三角函數在解決現實問題時發揮的功用。在講解“三角函數”這一知識點時，需要學生能很好的結合形與數，利用形來思考數量關系，利用數來解決形的實際問題。在初中數學教學中體現出數形結合的教學思想，并運用到三角函數的知識解答相關問題，進而幫助學生解決數學學習中遇到的實際困難，提高學生學習數學知識的熱情和積極性，進而提高中學數學課堂教學效率。數形結合教學理念是在教學實踐中分析總結出來的，數形結合教學模式比較豐富，數形結合教學理念改變了傳統的初中數學教學理念和教學模式，成為中學數學教學中比較常用的教學模式，在中學數學教學中也發揮著極其重要的作用。

比如，解直角三角形在現實生活生產應用廣泛，把“實際問題”抽象成“數學問題”的過程時，需要依據問題情境畫出并分析幾何圖形，獲得圖形中的邊或角的某種關系，再經過一系列的推理和計算，解決實際問題。

所以，教師在進行本章的教學時，無論是銳角三角函數，還是解直角三角形，在引入概念、邏輯推理、解決實際問題等各個環節中，盡可能通過圖形輔助學生準確而快速地找到直角三角形中的邊、角之間的關系，幫助學生理解和分析。教師加強數形結合思想的滲透，才能加深學生對銳角三角函數本質的理解。

結語

數形結合教學理念在初中數學教學中的作用是不可替代的，也是初中數學教學中不可或缺的教學理念和教學模式，教師一定要結合學生的特點和實際情況合理的制定數形結合教學方案，深入淺出，分層引入數形結合教學理念。中學數學教師可以采用數形結合的教學模式把教材內方程相關的數學知識簡單化，具體化，如果脫離了圖形，學生的學習興趣就無法得到激發，會枯燥乏味。在數形結合教學理念下，學生是學習的主體，教師起到引導和輔助的作用，做好課前準備，讓學生認識到學習數學知識的重要性。學生只有深入把握數學知識，才能把數學知識應用到實際生活中，解決生活中遇到的實際問題。