淺談因式分解

（蓋州市礦洞溝學校 遼寧營口 115208）

因式分解是整式乘法的逆運算，是重要的多項式變形，因式分解是解高次方程的重要方法，類比小學階段的分解質因數，學生對因式分解的概念不難掌握，但是在解題過程中容易分解不徹底，或者不會分解，根據我在教學過程中的經驗，本文主要談談因式分解時學生容易犯的錯誤和初中階段因式分解的一般方法。

一、因式分解的形式

多項式=式子1×式子2×式子3×…×式子n（式子是整式）

例1：因式分解xn+1-xn-1

錯解：xn+1-xn-1=xn（x-x-1）， x-1是分式，不是整式

正解：xn+1-xn-1=xn-1（x2-1）= xn-1（x+1）（x-1）

二、提公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式，公因式可以是單項式，也可以是多項式。找出各項的公因式，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母， 且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，且多項式的次數取最低的。約數如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。

例2：6x2y2z-4xyz2+2xyz =2xyz（3xy-4z+1）

三、公式法

1.平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）公式中的字母a、b既可以用數或字母代替，也可以用單項式或多項式代替。只有平方項a2和b2符號相反才能用平方差公式分解，例如多項式-x2-1不能用平方差公式分解。

例3：4x2y2-z2=（2xy）2-z2=（2xy+z）（2xy-z）

例4：-25a2+49b2=-（5a）2+（7b）2=（7b+5a）（7b-5a）

如果有兩項分別可以寫成兩個整式的平方的形式，而且平方項的符號相反，這時要考慮用平方差公式分解因式。

2.完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2項數為三項，其中兩個項可以寫成平方的形式，第三項為乘積的2倍，這時用完全平方公式。平方項符號必須相同，比如-x2+4xy-4y2平方項x2和4y2符號相同都為負，所以可以提出“-”號，再分解。

例5:9mn2-12mn+4m=m（9n2-12n+4）=m（3n-2）2

例 6：4（2a-b）2-9（2a+b）2=〔2（2a-b）〕2-〔3（2a+b）〕2=（4a-2b+6a+3b）（4a-2b-6a-3b）=（10a+b）（-2a-5b）

3.立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）、立方差公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；

例6：8x3-y3=（2x-y）（4x2+2xy+1）

分析:如果一個多項式的各項含有公因式，就先提公因式，然后再進一步分解，直至不能再分解為止。

有些計算題，雖然屬于單純的數字計算，但是按一般步驟進行，不僅計算麻煩，且易出錯，若能利用因式分解的方法，先因式分解，再計算，就可以大大地簡化運算過程。

運用公式法分解因式的思路是：

（1）當多項式只有兩項時，若各項的指數都是2的倍數且二次項系數異號時，可考慮用平方差公式。

（2）當多項式有三項時，可以考慮用完全平方公式加以分解。

四、分組分解法

運用分組分解法的關鍵是熟悉以上兩種分解方法的基礎上對多項式進行正確的分組，然后再利用提公因式法或公式法分解。能分組分解的多項式有四項或六項或大于六項

二 二 分 法：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by） =a（x+y）+b（x+y） =（a+b）（x+y）

三 一 分 法：2xy-x2+1-y2= -x2+2xy-y2+1= -（x2-2xy+y2）+1= 1-（x-y）2 = （1+x-y）（1-x+y）

例6：x2+2xy+y2-2x+2y+1=（x-y）2-2（x-y）+1=（x-y-1）2

例7：1-x2+4xy-4y2=1-（x2-4xy+4y2）=1-（x-2y）2=（1+x-2y）（1-x+2y）

五、特殊方法

1.換元法。換元法就是把多項式的某部分換成新元，從而使多項式的數或式的關系明朗化，把一個復雜的多項式轉化為容易分解的多項式。

例7：分解因式（m2+8m+7）（m2+8m+1）+9

這個題目按照一般做法是先把兩個多項式相乘，合并同類項，就會得到一個四次多項式，用基本分解法就難以分解。觀察這兩個多項式都有m2+8m，可把m2+8m看成一個數y，于是原多項式可轉化為（y+7）（y+1）+9=y2+8y+16，而y2+8y+16是一個二次三項式，可以用完全平方分式分解。

2.拆項、添項。拆項、添項都是把多項式轉化為能提公因式或運用公式分解。

例8：m3-3m+2=m3-1-3m+3（把2拆成-1+3）

=（m3-1）-（3m-3）（拆項后能運用公式）

=（m-1）（m2+m+1）-3（m-1）（提公因式）

=（m-1）2（m+2）

例9：x4+4=x4+4x2-4x2+4（添4x2再減4x2）

=（x2+2）2-4x2（平方差公式）

=（x2+2-2x）（x2+2+2x）

多項式的因式分解是多項式乘法的逆變形，是處理數學問題的重要手段和工具。因式分解在代數式的運算、解方程等方面有極其廣泛的運用。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分重要的作用。