高中數學函數值域求法探究

但漢光

（重慶市合川瑞山中學，重慶）

一、配方法的解題方式

不同的函數有不同的求值域的方法，在面對一個函數的時候，抓住這個函數的特點，選取正確的解題思路，這樣做題不僅效率高，而且準確。當所求函數是一個二次函數或者可以化成二次函數的復合函數的時候，可以利用配方法進行解題。這其實就是y=ax2+bx+c（a≠0）或者F（x）=a［f（x）］2+bf（x）+c（a≠0）這樣形式的函數。

這道題的解題思路就是將根號中被開方的數變成一個平方數，再利用這個二次函數的值求出函數值域。將根號當中的-x2-6x-5設為函數A，則原來的y就變為把A進行配方，得出所以得到 0≤A≤4，因而［0，2］，最后就得出答案的值域是［0，2］。

在對函數的值域進行求解的時候，不僅僅要注意對應關系的應用，同時也要注意定義域和值域之間制約的關系，配方法是一種思路，也是一種思維方法。

二、利用判別式的解題方法

函數三要素為函數的定義域、值域和對應法則，定義域和值域對函數有很重要的決定作用，通過定義域和對應法則可以確定值域的范圍。對于值域的求解是高中數學學習中的重點和難點，在面對題目所給函數可以化成關于某個變量的二次方程的無理函數或者分式函數的時候，利用判別式“△”進行值域的求解是一種很好的方法。這就要求這個所給函數的形式應該是分數的形式，分子和分母都是二次式而且沒有公約式，分母的二次項也不可以是0，函數的定義域需要是R，這樣的函數的一般形式就是

這道題目的思路就是將這個分式函數化為等式，討論x2的系數是否是0，從而進一步得到y的范圍，也就是所要求的函數值域的范圍。由題目得到yx2+yx+y-x-1=0，則對于yx2+（y-1）x+y-1=0這個式子一定有實數根。當y=0的時候，-x-1=0，得出x=-1；當 y≠0 的時候，（y-1）2-4y（y-1）≥0，綜上所述，得到這就是題目所要求的值域的范圍。

將函數的關系變成二次方程，因為方程是有實數解的，所以它的判別式是一個大于等于0的非負數，從而可以進一步求出函數的值域范圍。

三、利用數形結合畫出圖象進行解題

大多數函數都有能夠畫出來的圖象，圖象能夠直觀地表現出函數的特點，數形結合的方法就是將函數的問題轉化變成圖象問題、幾何問題，讓思路變得更加清晰，更加容易理解，從函數的圖象中得到函數的值域。在面對有很強的幾何意義的函數的時候，可以利用這種數形結合的方法來進行解題，就好比看到這個式子表示的是（x1，y1）和（x2，y2）兩個點連線的斜率。

比如，看這樣一道數學題目：求出函數y=|x-1|+|x+4|的值域。

這道題目的思路就是將這個函數變成分段函數，畫出圖象。將題目所給的函數變為分段函數，得到y=-2x-3（x≤-4）、y=5（-4＜x＜1）、y=2x+3（x≥1）三個式子，將這三個函數用圖象表示出來得到y≥5，所以，題目所給的函數的值域是y∈［5，+∞）。

對于分段函數繪制圖象的時候，要注意函數的端點是否有取值，利用函數表示的圖象得到函數值域的范圍，彰顯著數形結合的思維，是解決這一類問題的一種重要的方法。

四、利用不等式進行求解

構造可以利用基本不等式使用條件的函數形式，利用不等式進行解題，不僅僅體現在這樣的題目當中，數學中還有很多題目都需要這樣的解題思路。

綜上所述，在現當代教育模式的大背景下，高中數學教師在進行函數值域的教學過程中，要堅持做到以上幾大方面，從而提高學生的數學素養，加強他們數學函數的應用能力，在提高教師自身教學水平的同時，也讓學生的高中數學學習生活充實且富有意義。