試論高中生數學解題失誤的思維定式

潘妙妙

（江蘇省蘇州市吳江平望中學，江蘇 蘇州）

思維定式是指如果人在長時間內保持一種方法去思考問題，就會形成習慣，從而形成思維定式，并且思維定式在高中數學課程的分析問題和解決問題雙過程當中都是存在的，所以，相對而言，其具有較強的雙面性。但是，思維定式也有著優勢和劣勢，擁有思維定式，高中生才能夠在數學解題過程中有章可循，才更容易掌握相關內容和知識，并且，在以后的學習過程當中，就算是學習到了新的知識和內容，應用思維定式也更容易理解。思維定式的劣勢就是，高中生不能脫離機械化思考，一味地被動模仿，沿襲舊規，不思革新，就會出現解題失誤等現象。因此，高中數學教學過程中，教師應緊密地將高中生數學教學和改革后的實踐聯系在一起，從分析高中數學課堂活動的現象入手，認識到高中數學課程和教學活動的本質與教育規律。

一、思維定式的概括

1.思維定式

在高中生的數學教學過程中，解題失誤總是會伴隨著思維定式，高中生之所以會造成解題失誤，就是由于長時間地按照自己所積累的數學經驗來解決問題，或者是使用自己已經掌握了的規律進行。在這個反復使用的過程中就逐漸形成了思維定式。思維定式具有較強的固定性和定型性。思維定式在感性領域也被稱之為刻板印象，人們會在腦海中形成一個固定的傾向，所以當面臨問題的時候，都會憑借自己所積累的經驗去解決。當高中生在解決數學問題的時候，雖然使用思維定式會有一定的幫助，但是如果長時間地去使用，難免會出現解題失誤的現象。如果高中生不能擺脫自己心中的那個固定框架，就會出現學習消極的現象，因為高中生需要面對的是三年高考的艱難任務，所以要想真正地提高自己的數學解題能力，就要先從突破思維定式開始。如：在三棱錐 S－ABC 中，AC＝BC＝a，SC＝b，∠ACB＝120°∠ACS＝∠BCS＝90°，求二面角S－AB的正切值。錯解：①過S作AB的垂線，連結CD；②則SC⊥AC，SC⊥BC，由三垂線定理知CD⊥AB③則∠SDC即為二面角S-AB-C。因為關系不明確導致了錯誤的解題。首先①垂足沒指明；②先證SC⊥平面ABC；③二面角與平面角是兩個不同概念；④∠CBD＝30°成立的理由不足。

2.思維定式的特點

思維定式的一大特點就是思維模式，通過各種各樣的思維內容體現出思維的程序和模式，這種教學模式對于教師的要求相對要高一些，因為它和教學的實際內容有緊密的聯系，但是卻不能淹沒實際內容，它并不是教學的具體內容。其次，思維定式具有強大的慣性和頑固性，它剛開始只是讓高中生形成思維的習慣，但是慢慢隨著時間的推移，就會逐漸地深入高中生的大腦和潛意識。高中生要想走出思維定式是比較有難度的，很多時候，正是由于高中生被思維定式左右著，所以才會出現解題失誤，雖然其具有較強的固定性，但是卻不具有通用性。因此，必須要去盡力改善現狀，不能讓思維定式徹底改變高中生解決問題的思維。高中生具有把問題情境歸結為熟悉問題情境的趨向，這樣的表現方式被稱為思維空間收縮，具有某種集中性的思維趨勢。比如，在學習幾何的時候，應該強調它的解題思路，從而把空間問題轉換成平面問題。又比如在學習因式分解的時候，高中生就要掌握到解決十字相乘法、公式法、提取公因式法等幾種較為常規的方法，也有一些比較程序性的方法。

二、思維定式在高中生解題過程中的影響

1.積極影響

思維定式對于高中生解決數學問題有著非常重要的影響，在高中生解決問題的時候，思維定式可以根據學生所面對的問題產生相關的聯想。比如當面對一道題的時候，在思維定式的左右下學生會自然而然地聯想到曾經解過的該類題型，把新題和舊題的特征進行比較以后，再斟酌兩道題的共同點，使用自己已經掌握了的經驗和知識對問題建立一個情境，然后再解決問題。這樣的方法也是現象教學中的一種，把高中數學教學的實際內容或問題和情境結合在一起，意識到教學的規律，準確地說，在解決數學問題的時候，思維定式包括三個方面的內容：第一是定向地去解決問題，學生要有自己的一個固定方向和目標，要不然就會產生盲目性。第二，定向方法是實現高中生目標的重要工具，比如像知識、理論等，不一樣的題目對應的知識理論都是不一樣的，所以思維定式不具有通用性，只有學生對各種題型的理論都有所掌握，才會讓思維定式產生優勢，否則一切都是事倍功半。第三，依靠思維定式來解決問題必須要有一個完整的計劃，應有一步一步循序遞進、標準化的實施要求。高中生在解題過程當中采用思維定式，會在一定程度上為學生省去思考、探索的時間，因為高中課程本身就比較緊，而思維定式剛好為學生節省了學習的時間。

2.消極影響

在平常的解題過程中，即使思維定式可以幫助高中生解決一些問題，但是卻不利于高中生的創新思維發展，還會在一定程度上削弱學生的思維能力，久而久之，高中生就產生了依賴性，不管面對什么問題都會自然地采用思維定式來思考。國外一名心理學家就曾經做出過實驗證明思維定式的解題失誤事實。將兩條繩子懸掛在天花板上，繩子之間的距離比一個成年人兩臂的長度還要長一些，假如用一只手抓住其中一根繩子，那么另外一只手怎樣都抓不到另外一根繩子。在這種情形下，該專家讓一個人把兩根繩子套在一起，但是專家在離繩子不遠的地方放了一個滑輪，意思是給系繩者提供幫助。但是，系繩者看到滑輪之后，卻不知道有什么作用，更沒有想到滑輪和系繩的活動有關系，到頭來還是沒有成功地解決問題。如果說系繩者把滑輪栓在其中一根繩子的尾端，想辦法讓繩子蕩起來，之后再抓住另一根繩子的尾部，當滑輪蕩到系繩者能夠抓住的地方以后，系繩者再將兩根繩子系在一起，問題自然就成功地解決了。在解決數學問題的時候，當一個問題的條件發生了變化，思維定式仍然會使高中生在一個固定的框架當中找到出口，最終造成了解題失誤。比如，已知（x+2）2+y2/4=1，求x2+y2的取值范圍。很多學生都會由于思維定式而解題失誤，比如，他們會這樣解：由已知得出y2=4x2-16x-12，因此x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+8/3）2+28/3，所以當 x=-8/3 時，x2+y2有最大值 28/3，即x2+y2的取值范圍為（-∞，28/3）。學生并沒有注意到x的取值范圍要受到已知條件的限制，所以丟掉了最小值，事實上，由于（x+2）2+y2/4=1→（x+2）2=1-y2/4≤1→-3≤x≤-1，從而當 x=-1 時，x2+y2最小值為 1，所以，x2+y2取值范圍為［1，28/3］。

三、高中生數學解題失誤思維定式的有效解決方法

1.揭示本質，克服不好狀態

對于數學課本中的一些理論概念，不能只是停留在表面上，而應揭示它的本質內涵，而對于一些公式來說，理論概念不能夠顯露它的真實含義，只能通過本質的揭示去認識它。尤其是一些比較容易搞混的概念或公式以及定理，更是要抓住它們的本質，比如，有這樣一道數學題目：已知函數y=（sinx+cosx）+2cosx，求其最大值和最小值。這一道要用到倍角公式，那么就是y=2+sin2x+cos2x。通過這樣的公式反復進行聯系以后，就會慢慢地掌握到三角遇平方就降冪的規律。

2.多方聯想，克服封閉狀態

由一個事物聯想到另外一個事物，能夠在鍛煉高中生思維活躍度的同時，解決更多的數學問題，避免解題失誤的出現。通過對題目的分析，可對條件和結論當中隱藏的一些內容進行聯想，相似的理論、公式、概念等都是可以借鑒的，這就需要高中生進行多方聯想。比如高中生在復習函數方程這一章節的時候有這樣一道題：求方程Inx-x+1=0的實數根的個數，很多高中生都會先把方程變換成為lnx=x-1，之后再畫圖象，然后就會依靠數形得出2的結果，但是這個結果卻是錯誤的，這就是解題失誤。然而事實上，g（x）=x-1是f（x）=lnx的切線，所以，g（x）=x-1和f（x）=lnx就只有一個交點，即，（1，0）。因此，方程式lnx-x+1=0的實數根就只有一個。但是如果只是一味地給學生講解，學生也是不能理解的，所以這個時候，教師就需要使用圖象教學，根據實際內容設定情境來授課。教師可以在幾何板上作出圖象。這個方程式也有另外一種解法，就是從方程式的實數根找到函數的零點在什么地方，這樣就找到了解決問題的入口。那么就是：令f（x）=lnx-x+1，定義域就是（0，+∞），由f′（x）=-1＞0得0＜x＜1；f′（x）=-1＜0得x＞1，在f（x）上（0，1）為增函數，在（1，+∞）上為減函數，在 x=1上又有著很大的值為f（1）=0，到頭來方程式的實數根還是1。

思維定式確實對高中生有著一定的解題益處，但是也不能一味地廣泛使用，學生需有自己的獨立想法，才能不被其誤導，盡量減少解題失誤。