一靜一動，使好“思維定式”這把雙刃劍
——基于函數恒成立問題的思考

凌佳麗

（江蘇省蘇州市吳江區平望中學，江蘇 蘇州）

宇宙或由數學統治，數學充斥著自然界的角角落落，數學在中學教育體系中的重要性不言而喻，更是中高考重點考查科目之一。數學是思維的體操，數學教學是數學思維活動的教學。學習數學是學習數學思維過程及數學思維成果，可以說數學思維是動的數學，數學知識本身是靜的數學，兩者辯證統一。

高三備考，地毯式搜索大量習題，高強度訓練，盡顯思維定式優劣。思維定式本是心理學概念，指人們在認識事物時，由一定的心理活動所形成的某種思維準備狀態，影響或決定同類后繼思維活動的趨勢或形成。環境不變時，思維定式使人應用已掌握的方法迅速解決問題，在情況發生變化時則會妨礙人采用新的方法，即，消極的思維定式是束縛創造性思維的枷鎖。

一、靜——循規蹈矩，發揮“思維定式”的優勢力

笛卡爾說：“我解決過的每一個問題都成為日后用以解決其他問題的法則。”不可否認思維定式有其積極方面。在高一、高二數學新課教學中，由于課程緊，總是刻意突出本節內容重要性和某種方法的優越性，搭配習題予以鞏固，便容易形成解決某類問題時總采用對應固定方法的思維定式。在一定程度上為高三復習奠定解題能力基礎。導數問題常見“恒成立”，常用方法是“函數含參討論”和“參變分離”。

例 1.二次函數 g（x）對?x 滿足 g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，（m∈R，x＞0），若?x＞0 使lnx＞0時-2m≥t（x）min=2e；lnx=0時無解；lnx＜0時t（x）在（0，1）遞減且t（x）＜0，x→0時t（x）→0；x→1時t（x）→∞，故-2m＜0，綜上即得答案。

這類問題的解決方法較固定，很難下定論哪種簡便哪種應用廣。具體操作中，也各有需謹慎之處。前者分類依據恰到好處是關鍵，后者在分離時需要留意系數的符號，如何才能運用得得心應手就需要多練、多思、多總結。

例2.函數f（x）=x|x2-a|，若存在x∈［1，2］使f（x）＜2，則實數a的取值范圍為 。

變式：定義在區間D上的函數f（x），若存在正整數k使不等式恒成立，則稱f（x）為D（k）型函數。設函數f（x）=a|x|，定義域D=［-3，-1］∪［1，3］，若f（x）是D（3）型函數，則實數a的取值范圍為__________________。

兩題解法相似，去絕對值分離變量轉化為恒成立問題。x|x2-a|＜2 在 x∈［1，2］上有解且 a＜（x2+變式對?x∈［-3，-1］∪［1，3］ 恒成立，a＞且f（x）≤0成立，求實數m的取值范圍。

思維定式可在一定情況下迅速鎖定解題方法，如例1是函數含參討論，避免了分離變量時對系數符號的討論，例2則是參變分離，這在實際教學中都得到了確切反饋。解決大部分類似問題時，思維定式作用下提升解題速度，確保正確率，把新奇的解題方法掛在嘴邊，不如把常規的解題方法記在心里，說的是“思維定式”的優勢力。

二、動——同中有異，突破“思維定式”的封閉圈

在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么。當我們遇到一個數學問題時，這個問題可能“似曾相識”，它的解決方法也是信手拈來，但在解題過程中總有某些“特殊之處”會成為羈絆。

像例3，有部分恒成立問題只能采取函數含參討論。“分類討論”是貫穿高中數學的基本能力與思想方法，分而治之，各個擊破，綜合歸納。化整為零，在局部討論時降低難度。事實上是參變分離也難免分類討論，這是考查學生綜合能力的有效工具。

aex≥（a+2）令導函數復雜，并未隨求導次數增加而簡化。分離變量a（xex-2x+1）≥4x-2），φ（x）=xex-2x+1（x＞0），φ′（x）=ex（x+1）-2，（φ′（x））′=ex（x+2）＞0，φ′（x）在（0，+∞）遞增，φ′（0）=-1，φ′（1）＞0 存在唯一 x0∈（0，1）使φ′（x0）=0，φ（x）在（0，x0）遞減，在（x0，+∞）遞增，φ′（x0）=0即令

本例與例3相反，只能參變分離，解答思路清晰但過程繁瑣，兩次構造新函數。第一次構造φ（x），兩次求導，在導函數零點不可求的情況下判斷單調性，如此迂回僅是為了分離變量而判斷因式符號；第二次構造u（x），雖然求一次導數就完成作答，但u（x）的結構表象易導致止步不前。上述解法考查能力要求較高。在研究函數性質特點（主要單調性）時，通過求導進行分析，按題目特點，必要時進行二次求導，通過導函數研究原函數，或從導函數中抽取部分函數，構造新函數，再求導研究函數性質。無論題型如何變化，根本點即“導函數正負決定原函數增減”，這便是思維定式靜之余的靈動部分。解答過程的繁瑣不禁使人思考，有更加理想的變量分離方式嗎？

aex≥（a+2）中取特值令都是參變分離，后者解法大幅簡化，先是取特值縮小參數范圍，同時也為分離變量確定符號，接著構造h（x），結構上比u（x）簡便，不至于望而生畏。此例一方面鞏固了解決恒成立問題的兩種常規解法的思維定式，先按“直覺”擇其一解答，能解題最好，否則迅速跳轉他法，切不可止步于此；另一方面衍生了新的思維定式，即在參變分離時，不必糾結于“單個”的參數，只要參數與變量“分開”即可，分離的目的在于離開參數后的新函數盡可能簡便易操作。此外在很多恒成立問題中，通過“取特值”放縮參數范圍往往會帶來便捷，如得到有用條件、適當減少分類討論的情況等，這些都可在諸多習題中加以嘗試，多多領悟，舉一反三。

不要放過任何一道看上去很簡單的例題，它們往往并不那么簡單，或者可以引申出很多知識點。在充分發揮“思維定式”優勢力的同時，也要注意克服“思維定式”的負面影響，提出某種方法、模式的使用條件與局限性，當學生出現因思維定式產生的錯解時，應通過比較正解與錯解，幫助學生從思維定式的封閉圈中走出來。數學學習是不斷揚棄的過程，思維定式利弊共存，靜的是諸多解題手段，動的是不斷流淌的思維，靜與動相結合，才能使好“思維定式”這把雙刃劍。