基于低秩約束的圖像去模糊算法

何黎俊

摘要 自然圖像由于其相鄰區(qū)域具有高度相關(guān)性而具有低秩特征。因此，本文設(shè)計(jì)了基于低秩約束的圖像盲去卷積算法，能夠恢復(fù)出更加尖銳和連續(xù)的邊緣，特別是在圖像含有較少邊緣信息時(shí)。采用變量分離法將難以求解的目標(biāo)函數(shù)分解為數(shù)個(gè)易于求解的子問(wèn)題，最終通過(guò)交替迭代更新得到最優(yōu)解。

【關(guān)鍵詞】低秩約束 圖像去模糊 算法

近年來(lái)，數(shù)碼相機(jī)、手機(jī)攝像、電子監(jiān)控等設(shè)備的越來(lái)越普及，獲取數(shù)字圖像越來(lái)越方便，但是這些圖像，由于抖動(dòng)、散焦或者攝像頭品質(zhì)等原因而導(dǎo)致圖像模糊。因此，去模糊算法逐漸成為圖像恢復(fù)領(lǐng)域的重要問(wèn)題之一。根據(jù)模糊核是否己知，去模糊算法可以分為非盲去卷積和盲去卷積。其中，盲去卷積是圖像恢復(fù)領(lǐng)域中的一個(gè)重要問(wèn)題，目前的主流算法是基于最大后驗(yàn)概率（MAP， Maximum aposteriori）框架，通過(guò)在能量方程中引入不同的先驗(yàn)約束，迭代求解得到恢復(fù)的圖像。

假設(shè)圖像被均勻核模糊，則模糊過(guò)程可以表示為：

y=x*k十n （1）

其中，y表示模糊圖像，x表示真實(shí)圖像，k表示模糊核，n表示噪聲。

1 低秩子空間

其中r表示目標(biāo)低維子空間的維度，F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)。這一問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)D做奇異值分解（Singular Value Decomposition），然后把D投影到前r個(gè)主成分張成的子空間，得到低秩成分A。

由于PCA假設(shè)噪聲是符合高斯分布的，當(dāng)噪聲的幅值較小時(shí)，算法非常有效。但是當(dāng)矩陣被大幅值的噪聲所污染時(shí)，比如遮擋、缺失、斑點(diǎn)等，這一假設(shè)并不成立，從而導(dǎo)致PCA算法失效。

因此，需要從被稀疏噪聲污染的數(shù)據(jù)中恢復(fù)出真實(shí)的低秩成分問(wèn)題：

其中，rank （A）表示矩陣的特征值數(shù)量，下表O表示LO范數(shù)，是矩陣非零元素的個(gè)數(shù)，λ是權(quán)重系數(shù)，表示LO范數(shù)的重要程度。

魯棒主成分分析（RPCA，Robust PrincipalComponent Analysis）方法，對(duì)稀疏噪聲進(jìn)行建模和約束，利用Ll范數(shù)來(lái)近似求解LO范數(shù)，使矩陣的秩得到較大的降低，從而恢復(fù)出真實(shí)的低維子空間：

其中，*表示核范數(shù)，即矩陣奇異值之和，是rank（A）的近似值，下標(biāo)l表示Ll范數(shù)，即各項(xiàng)絕對(duì)值之和，是LO范數(shù)的近似值。

增廣拉格朗日乘子法，通過(guò)在目標(biāo)方程中添加增廣拉格朗日懲罰因子，使函數(shù)滿(mǎn)足約束條件，從而將有約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題，然后通過(guò)交替更新迭代求得優(yōu)化值。根據(jù)增廣拉格朗日乘子法，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為：

交替更新變量A和E，最終得到數(shù)據(jù)的低秩結(jié)構(gòu)和稀疏噪聲部分。

2 基于低秩約束的圖像去模糊算法

基于最大后驗(yàn)概率的框架下，通過(guò)對(duì)待求變量加入合理的正則化項(xiàng)，使得恢復(fù)的數(shù)據(jù)不僅與觀(guān)測(cè)圖像滿(mǎn)足一定的關(guān)系，而且盡可能與真實(shí)圖像一致：

其中，y是觀(guān)測(cè)的模糊圖像，x是待恢復(fù)的真實(shí)圖像，k是模糊核，P（x）和P（k）表示x、y應(yīng)該滿(mǎn)足的先驗(yàn)特征。

為了恢復(fù)X的低秩結(jié)構(gòu)，利用圖像的低秩特征，引入核范數(shù)進(jìn)行約束。同時(shí)為了保證圖像邊緣的稀疏性，采用LO范數(shù)對(duì)梯度進(jìn)行約束：

由于LO范數(shù)的存在，優(yōu)化上式不是一個(gè)容易的問(wèn)題。對(duì)于LO范數(shù)的優(yōu)化，采用變量分離的快速優(yōu)化方法。對(duì)于核范數(shù)，采用變量分離方法。通過(guò)交替迭代更新，最終得到優(yōu)化值。

采用變量分離法將LO范數(shù)和核范數(shù)分離出來(lái)，即引入輔助變量u和g，分別等于x和∨x，并且引入增廣拉格朗日懲罰因子，從而將優(yōu)化方程重寫(xiě)為：

因此，在保證最優(yōu)值近似不變的情況下，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了合理轉(zhuǎn)化，變成了較容易求解的優(yōu)化方程。采用交替更新迭代算法，即固定一些變量，求其他變量的最優(yōu)值，然后交替反復(fù)，可以最終得到優(yōu)化值。

3 結(jié)語(yǔ)

夜景圖像由于光線(xiàn)不足，拍攝時(shí)曝光時(shí)間更長(zhǎng)，更容易受到抖動(dòng)的影響而得到模糊的圖像。本文設(shè)計(jì)了一種基于低秩約束的圖像去模糊方法，能夠克服了這一困難。

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