淺析函數與方程思想在初中數學教學中的滲透

函數與方程思想是學生學習數學知識和解決數學問題的一種重要思想，在初中數學教學中，不斷提升學生的函數與方程思想，對于培養學生數學知識學習能力與解決問題的能力具有積極的意義。因此，初中數學教師在展開數學教學的過程中，要有目的、有意識地將函數與方程思想滲透到課堂教學中。通過結合數學教材和教學任務，啟發學生對問題進行深度的思考，提升學生運用函數與方程思想解決問題的能力，讓函數與方程思想貫穿于學生整個數學學習過程中，以指導學生更好地學習數學。

一、立足教材，挖掘函數與方程思想的教學內容

當前的初中數學課程內容中，主要包含了數與代數、幾何、函數、統計與概率等知識，而其中函數與方程則占據了很大部分，是整個初中數學教學中的核心與重點。因此，教師要想將函數與方程思想有效地滲透到初中數學教學中，首先就需要從初中數學教材出發，認真研讀教材，挖掘函數與方程相關的內容，并在這些內容的教學中向學生滲透函數與方程思想。

例如，教師在對“二次函數”進行教學時，首先需要對這一知識點進行深入分析，確定學生在該知識點的學習中需要掌握的重點，即二次函數的概念。一般我們將具有這樣形式y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數，且a≠0）的式子稱為二次函數。此時，教師可以引導學生解讀這個式子的數學概念，結合以往所學過的一元二次方程的相關知識，通過對比分析，找到二次函數與一元二次方程兩者之間的聯系。教師可以在列出二次函數的一般式后，將一元二次方程的一般式“ax2+bx+c=0（a、b、c皆為常數，且a≠0）”一并列出來。引導學生通過對比分析后發現，當二次函數的“y=0”時，二次函數就變成了一元一次方程式。上述的教學內容很好地體現出了函數與方程思想，引導學生在學習二次函數的知識時，通過轉換思想，讓學生學會利用方程的知識來解決函數問題。所以，通過在數學教材中挖掘跟函數與方程相關的知識點，并對學生進行有目的的數學思想滲透，有助于優化教學質量與提升學生的學習效果。

二、啟發思考，實現函數與方程思想的轉化

所謂的函數與方程思想，實際上就是借助函數模型將一些較難處理、較難解決的方程問題轉化為函數，而后運用函數知識解決方程問題；或是通過分析一些難以解決的函數問題，尋找到與之等量的關系以建立方程，利用方程的相關知識解決函數問題。所以，函數與方程思想在很大程度上體現了學生的邏輯思維能力和思維的靈活性。故而，在初中數學教學中，教師需要啟發學生對問題進行深度的思考，使其能夠靈活掌握并很好地運用函數與方程知識，讓學生在知識的轉化中形成函數與方程思想。

例如，在教學“二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數，且a≠0）的圖像和性質”時，教師要想在這一節內容中向學生滲透函數與方程思想，可以通過為學生設置問題情境的方式，啟發學生進行深度的思考。比如，教師可以設置這樣一個問題，以引導學生發現并掌握二次函數與一元二次方程的關系。問題：二次函數y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數，且a≠0）的圖像，與X軸交點坐標跟一元二次方程ax2+bx+c=0的解具有什么樣的一種關系？在設置這個問題時，同時還需要給予學生一點提示：要考慮到二次函數圖像與X軸相交時可能存在的幾種情況，如兩者相交沒有交點、只有一個交點或是有兩個不同的交點。此時，學生通過對教師提出的問題進行思考并結合教師所給出的提示，能夠得到以下結論：當函數y=ax2+bx+c（a、b、c皆為常數，且a≠0）與X軸并無交點時，方程ax2+bx+c=0無實數根；當函數y=ax2+bx+c圖像與X軸相交且僅有一個交點時，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根；如函數y=ax2+bx+c圖像與X軸相交存在兩個不同的交點，那么方程ax2+bx+c=0則有兩個不相等的實數根。通過設置問題啟發學生進一步思考二次函數與一元二次方程的關系，以增強學生對函數與方程思想的感知，促進數學思想的形成。

三、結合問題，增強函數與方程思想的應用體驗

在初中數學的學習中，很多數學問題甚至是生活中的問題，都需要運用函數與方程進行解決，通過建立函數、方程模型，從而將抽象的問題變得具體化，使答案顯而易見。因此，教師在向學生滲透函數與方程思想時，可以結合實際數學問題，引導學生運用函數與方程思想去解決數學問題，以增強學生應用函數與方程思想的體驗。

例如，教師在教學“一元二次方程與二次函數”的相關知識內容后，可以給學生布置這樣一道習題：已知方程x2-3x+k=0的兩個根取值范圍分別為大于1的數和小于1的數，那么請問“k”的取值范圍是？在布置這個題目后，讓學生分析二次函數與一元二次方程的聯系，利用二次函數的知識解答問題。通過教師的指導，學生的分析如下：由該方程可以知道，方程的兩個根為一個取值范圍，也就是不確定的數值，因此該方程不能夠用方程的知識進行解答。通過分析二次函數與一元二次方程的聯系，將這一方程轉化為函數問題，可以把x2-3x+k=0看為一個二次函數，方程兩個不同的根則為二次函數自變量x的值；根據函數的圖像與性質，知道這是一個圖像呈開口向上的拋物線函數，而當y=0則為這個方程的解。回頭看題目所給的已知條件“兩個根分別為大于1和小于1的實數”，故而，推斷出：當x=1時，y＜0，將x=1帶入方程，能夠得到k值小于2。通過引導學生結合實際問題，學會應用函數與方程思想解決問題，從而加深學生對這一種數學思想的體驗與理解，使其能夠更好地運用這種思想。

四、引導回顧，推進函數與方程思想的內化

學生能夠簡單、機械地記憶函數與方程思想，是這種數學思想在初中數學教學中滲透的最低層次，也是學生掌握這種思想的基礎。而只有學生在學習數學知識、解決數學問題的過程中，能夠不由自主地重構這種數學思想，使這一思想內化為學生大腦知識結構中的一部分，才能說明學生真正地掌握了這種思想。所以，在學生應用函數與方程思想解決數學問題的過程中，教師要善于引導學生對解題過程、應用過程進行回顧，通過回顧分析，理清應用數學思想解題的思路，并對解題過程中函數與方程思想的應用進行反思，使學生在應用——反思——應用的過程中，將這種數學思想內化為自身的思維方法，進而在數學學習中，能夠自覺、自然而然地應用這種思想指導學習并解決數學問題。

例如，在上文提到的“x2-3x+k=0”這一道題的解答中，教師在引導學生應用函數與方程思想解決這道數學問題后，應該及時引導學生對解題的過程進行回顧、反思。讓學生在反思中學會梳理解題思路，明確這一道題是在運用一元二次方程知識無法解決后，將其轉化為二次函數，利用函數圖像與性質解答的。教師引導學生共同對解題過程進行回顧：首先，在理解題意、分析題目后，明確該方程不能用方程知識解答；其次，通過分析二次函數與一元二次方程的關系，將方程轉化為函數；最后，借助函數的圖像與性質對方程進行解答。在這樣一個回顧、反思過程中，學生不僅對函數、方程知識進行了復習和鞏固，同時還對函數與方程思想有了進一步的理解與認識，這對于函數與方程思想的內化具有積極的作用。

函數與方程思想是初中階段的重要數學思想之一，加強在初中數學教學中函數與方程思想的滲透，能夠讓學生掌握并學會應用這一種思想，這對于促進學生數學知識水平的提升和發散思維、邏輯思維能力的培養，以及綜合素養的提升具有重要意義。