論正態分布的理論與應用價值

蘇德超

摘要：大量理論和實踐表明，概念論中正態分布的應用是最廣的。本文旨在對其研究過程、定義、特性和分類等進行分析，闡述其在機械、教育、醫學等方面的實際應用。

關鍵詞：正態分布 理論 應用價值

概率論，尤其是正態分布，是解決重要問題的方法，應用于人們生產生活的各個方面。正態分布可以對大量個體的特性統計分布，也可應用于解決現實生活問題。作為最常見的連續性隨機變量的分布，正態分布在其理論地位與實際應用中都具有重要價值。

一、正態分布性質及定義

1.正態分布概念與特性

正態分布又稱為高斯分布/常態分布，其曲線是兩邊低，中間高，兩側逐漸趨緩，左右對稱，曲線不與橫線相交。

若隨機變量X服從一個位置參數為μ、尺度參數為σ的概率分布，且其概率密度函數為：

正態分布曲線是一條關于x=μ對稱的鐘形曲線，其中，μ決定了圖形的中心，σ決定了分布的離散程度。σ越大，正態曲線越扁平；反之越陡峭。其特性如下：①集中性。正中央為曲線高峰，即均數，向兩側逐漸趨緩。②對稱性。曲線以中央為軸，左右對稱，兩端永遠不與橫軸相交。③均勻變動性。曲線由中央向左右兩側均勻下降。④正態分布有兩個參數，均數μ和標準差σ，可記作N（μ，σ）。μ決定正態曲線的中心位置；σ決定曲線的彎曲程度。σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平。⑤μ變換。μ是正態分布的位置參數，描述其集中趨勢位置，且常對μ進行變換，曲線以X=μ為對稱軸，左右對稱。正態分布的均數、中位數、眾數相同，均等于μ。⑥3σ原則。P（μ-σ

2.標準正態分布

二、正態分布的實際應用

正態分布作為概率中的重要分布，在生產生活中很多隨機變量的概率分布都可以近似用正態分布來描述，主要體現在以下方面：

1.估計頻數分布

實際生活中，確定數據的均值與標準差，可以根據相應的公式估測任意范圍的頻數或比例。

2.制定參考值范圍，常用于醫學價值

醫學參考值范圍也稱醫學正常值范圍，制定時首先要確定足夠數量的“正常人”；其次，根據實驗所需選定合適的百分比，常用95%，多小于100%；再次，考慮確定醫學參考值范圍的因素，根據頻數分布表上各組的分布范圍確定，分布趨勢相近者合并，差異者分組；最后，根據指標的實際用途確定單側或雙側界值，如肺活量過低為異常，需要確定下限。常用計算方法有：正態分布法、對數正態分布法和百分位數法。

3.質量控制

實驗過程中，結果難免會存在一定的誤差，這些誤差近似服從正態分布，為了控制這一情況，需要確定上下臨界值，嚴格限制。

4.正態分布是許多統計方法的理論基礎

檢驗和回歸分析等多種統計方法均要求指標服從正態分布。許多統計方法對此雖然不做具體要求，但對應大樣本是以正態分布為理論基礎的，如t分布都是在正態分布的基礎上推導出來的。

主要內涵如下：①整體論。正態分布表明，其曲線和面積分布圖包括三個區（基區、負區、正區），要從整體到個體，整體看待事物。②重點論。根據正態分布的曲線及面積分布圖，確定次重點，基區占68.27%，需重點關注。③發展論。正態分布曲線面積兩側趨于平緩，中間突出，經歷了負區—基區—正區的過程，這一問題告訴我們事物是不斷發展、漸進的過程，要不斷適應。④教育統計學。學生的智力水平近似服從正態分布，“中間高、兩頭低”根據這一特點，進行教學評價和考試題質量評價，將成績分布圖與μ和σ相同的正態分布曲線加以比較，學生成績應服從正態分布，且μ=75，σ=5，考試則達到教學要求。

（作者單位：山東省新泰市第一中學）