從一道習題來看動點問題

廖玉勝

動態問題不僅是近幾年中考的熱點問題，而且是對學生綜合運用知識能力的檢驗手段之一。動態問題是以幾何知識和圖形為背景，滲入運動變化觀點的一類試題。幾何圖形中的點與線的運動，就形成了數學中的動態問題。動態問題基本上可以分三種：動點問題、動線問題和動形問題。實際上初中階段出現最多的只是動點問題。怎么讓學生很好地解決動點問題，還需要我們教師加強探索研究，巧妙地引導學生分析，發現一些適合自己解決問題的辦法。一般地：不被“動”所迷惑，善于在“動”中尋找相對的“靜”，即：抓住運動中的某一“極端點”（瞬間點），發揮空間想象能力，分析“動”與“靜”的內在聯系，尋求解決問題的途徑。對于多數學生來說完成這類試題是比較困難的，但是，只要教師能從生活實例出發，將動點問題實際背景化，讓學生看得見摸得著，是完全可以達到預期效果的。下面就從類似課本上的一道習題來探究解決動點問題的基本辦法。

習題：動車路線MN和高速公路PQ在點O處交匯，兩條道路成30°的夾角，高速公路上A處有一所福利院，距離交叉處O有200 m。動車行駛時，周圍200 m以內會受到噪音的影響，當動車在路線MN上沿ON方向行駛時，福利院是否會受到噪音的影響？如果動車行駛的速度為280 km/h，試求出福利院受到影響的時間！（結果保留整數）

先思考臺風運動問題：2018年“HK”臺風（強熱帶風暴）的中心在距離SY市東偏北約370多公里海面上，附近最大風力為10級（風速25米/秒），臺風運動的半徑大約為110—130公里。估計“HK”臺風將以每小時15公里左右的速度向西偏北方向移動，強度會繼續加強，最強可達風級12級（風速30米/秒左右）。然后臺風將適當改變方向繼續向前移動。

一、引導分析：臺風本身就是一個圓形，它在運動過程中就會留下寬度為近300公里的一個影響帶，如果某地在它經過留下的影響帶中，就會受到臺風的影響。實際上我們就將臺風運動痕跡轉化成了相對靜止的一個“帶狀”圖形。

二、學生發現：臺風是以臺風中心為圓心，以某一長度為危害半徑的運動圓，這就是動態圓。那么，習題中的問題也可以理解為：動車沿鐵路行走過程中，就相當于臺風運動；影響范圍為200m，也就是一個寬度為200m的帶狀圖形，點A（福利院）就在這個運動圓留下的痕跡內（圖1）。動車是以一個圓形在向前“動”，我們是不好求出點A受影響的時間的。那么逆向思考：我們將福利院和動車都看成一個點，比較點A與動車的距離，如果兩點的距離大于200m，那么福利院就不會受到影響。

三、問題解決：因為福利院是不“動”的。因此我們可以以A點為圓心，200m為半徑作圓（圖2），觀察動車是否進入圓中。我們把動車轉化為一個動點，福利院就是相對靜止的點。如果動車進入以A點為圓心，200米為半徑的圓（即：當動車在OG上時，也就是動車與A的距離小于200m時），福利院就受影響，因此只要求出OG的長度即可！從而將一個貌似復雜的動態問題轉化為學生十分熟悉的純幾何問題，這種“轉化”也正是初中學生必須具備的一種能力。

我們所采取的這種分析方法：從實例出發，由易到難，盡量避免多數同學對于動點問題的畏懼心理。“以靜制動”，即把動態問題變為靜態問題來解決。一般情況下是要抓住變化中的“不變量”，以“靜”制“動”。比如近幾年中考中的壓軸題都是動點問題與函數問題、幾何問題相結合，那么首先你就必須要清楚地了解函數圖像或幾何圖形的性質、特點。動點題無非就是要你將所有的點找出來，也就是將動點轉換為靜止的點，根據題意寫出函數關系式或找出與幾何圖形相聯系的等量關系，通常這就是變化過程中的一個基本量；然后就可以把相關的量都用關系式表達出來。這就要求我們必須充分地了解學過的幾何圖形的概念和性質。有時候也可以試一試某些極端點，很多中考題都是通過極端點，尋求到相對靜止的狀態。

綜上所述，動點問題一般要求學生必須要熟練掌握基礎知識，擁有較強的綜合分析問題的能力，數形結合，才能更好地去解決問題。目前，老師運用幾何畫板軟件，就可以很好地幫助我們實現這一目標。