概率論與數理統計教學中有關正態分布性質的課堂講授

徐晨

摘 要：正態分布是概率論與數理統計中最重要的分布，正態分布有很多經典性質和較強的實際應用價值，本文主要介紹在概率論和數理統計課程中有關正態分布性質的課堂講授方法。

關鍵詞：概率論，數理統計，正態分布

概率論與數理統計這門課程是理工學科本科生非常重要的一門數學基礎課程，學生只要有了微積分和線性代數的基礎就可以學習概率論與數理統計。正態分布是概率論與數理統計課程中非常重要的一個分布，有關正態分布的定義、性質及應用貫徹這門課的始終，因此在課堂上關于正態分布由來、定義、性質及應用等內容的透徹講解是非常重要的。

正態分布（Normal distribution），也稱高斯分布（Gaussian distribution），最早在1733年由棣莫弗在求二項分布B（N，p）在N為取值較大并且為偶數，p=1/2時概率分布的漸近公式中得到，1809年高斯在研究測量誤差時從誤差的最大似然估計角度導出了正態分布的密度函數。與此同時拉普拉斯將誤差的正態分布理論和中心極限定理聯系起來，指出如果誤差可以看成許多微小量的疊加而成，則根據他給出中心極限定理，隨機誤差應該服從正態分布。

如果一個連續型隨機變量X的密度函數f（x）為：

那么就稱隨機變量X服從正態分布，記作X～N（？滋，？滓2）正態分布的密度曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱，又常稱之為鐘形曲線。參數？滋為正態分布的期望，也是正態分布的一階半不變量，并且參數？滋決定了密度曲線對稱軸，因此也稱為位置參數;參數？滓2為正態分布的方差，也是正態分布的二階半不變量，正態分布的三階及以上半不變量均為0，并且參數？滓2決定了密度曲線的幅度，因此也稱為尺度參數。當？滋=0，？滓2=1時的正態分布是標準正態分布。

一、正態分布密度函數的難點

如果一個連續型隨機變量X～N（？滋，？滓2）其密度函數f（x）的核為：f（x）∝e-x2而函數g（x）=e-x2即為一個鐘型曲線，由微積分的性質可知對于不定積分■e-x2dx是沒有顯示原函數的，因此在求解定積分■e-x2dx時，就不可以應用著名的牛頓-萊布尼茨定理：如果函數f（x）區間[a，b]上有定義，并且滿足以下條件，（1）在區間[a，b]上可積，（2）在區間[a，b]上存在原函數F（x），則.■f（x）dx=F（b）-F（a）=F（x）|ba因此不同于均勻分布、指數分布的情況，正態分布在計算隨機變量取值在區間[a，b]上的概率時，無法給出精確解，需要查標準正態分布分布函數值表來得到近似解，并且任意一個服從正態分布N（？滋，？滓2）的隨機變量X需要通過中心標準化轉換成標準正態分布■～N（0，1）。綜上，在課堂講授時需向同學解釋清楚正態密度曲線的特點，并且解釋清楚正態分布的概率計算為什么需要查表得近似值。

二、正態分布密度函數必然事件的概率

如果連續型隨機變量X～N（？滋，？滓2），其密度函數為f（x），則肯定有■f（x）dx=1，當然這個結論也不是通過牛頓-萊布尼茨定理得到，而且利用了定積分中的坐標變換得到的。不妨以標準正態分布來舉例，連續型隨機變量X～N（0，1），其密度函數為？漬（x），記I=■？漬（x）dx>0，則I2=■？漬（x）dx■？漬（y）dx，此時，利用直角坐標系與極坐標系的轉換，記r2=x2+y2，tan？茲=y/x則有I2=■■■e■dxdy=■■■e■rdrd？茲=1，因此可以得到I=■？漬（x）dx=1. 綜上，正態分布密度曲線下方面積為1是利用了一定的數學技巧得到的，需給同學解釋清楚。

三、常見的正態分布性質

正態分布作為概率論與數理統計中最重要的分布，它有很多經典性質，了解這些性質可以加深對正態分布的理解與掌握，下面列舉一些常見的正態分布的性質。

兩個獨立的正態分布的乘積還是正態分布;

兩個獨立正態分布的卷積還是正態分布，也就是兩個正態分布的和還是正態分布;

正態分布N（0，？滓2）的傅立葉變換還是正態分布;

中心極限定理保證了多個隨機變量的求和效應將導致正態分布;

正態分布和其它具有相同方差的概率分布相比，具有最大熵;

Cramer分解定理：如果X，Y是獨立的隨機變量，且S=X+Y是正態分布，那么X，Y也是正態分布;

如果X，Y獨立且均服從正態分布N（？滋，？滓2），那么X+Y，X-Y獨立且同分布，而正態分布是唯一滿足這一性質的概率分布;

對于兩個正態分布X，Y，如果X，Y不相關則意味著X，Y獨立，而正態分布是唯一滿足這一性質的概率分布。

總之，在概率論與數理統計課程上介紹正態分布時，需介紹正態分布的產生歷史、密度函數特點、常見的性質，加深同學對正態分布的理解，更好的掌握有關正態分布的內容。

參考文獻：

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