基于余切函數(shù)的數(shù)據(jù)弱化處理方法

蘇海軍

（西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川南充637009）

基于余切函數(shù)的數(shù)據(jù)弱化處理方法

蘇海軍

（西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川南充637009）

構建了以余切函數(shù)為基礎的弱化緩沖算子；通過實例說明該算子能有效弱化數(shù)據(jù)，消除沖擊擾動因素對原始數(shù)據(jù)的干擾，提高GM（1，1）模型在沖擊擾動系統(tǒng)中的模擬和預測精度.

余切函數(shù)；弱化緩沖算子；GM（1，1）模型

0 引言

灰色系統(tǒng)理論是研究系統(tǒng)信息未完全知曉的“小樣本、貧信息”的不確定性系統(tǒng).［1］通過對系統(tǒng)中已知信息的分析，找出其內(nèi)在的規(guī)律，用以預測未知的信息，然而面對復雜多變的系統(tǒng)表象，選擇何種方法對已知信息進行充分的挖掘和利用，鄧聚龍教授在文獻［2］中做了一定的闡述.但在實際的預測過程中，常常因為系統(tǒng)的原始數(shù)據(jù)受到外界環(huán)境的影響而導致預測效果不佳，劉思峰教授在文獻［3］、［4］中采用了沖擊擾動系統(tǒng)和緩沖算子來解決此類問題，經(jīng)過大量的實踐證明，緩沖算子理論能有效解決因系統(tǒng)受到外界干擾而導致預測效果不理想的問題.然而，許多的緩沖算子（如文獻［1］、［5］、［6］、［7］）都是利用均值來構建的，所構建的緩沖算子不但形式較為繁雜，而且計算過程較為繁瑣.

針對上述問題，本文另辟蹊徑，構建了一類以余切函數(shù)為基礎的弱化緩沖算子.實例證明，該弱化緩沖算子能有效弱化數(shù)據(jù)，消除沖擊擾動因素對原始數(shù)據(jù)的干擾，提高GM（1，1）模型在沖擊擾動系統(tǒng)中的預測精度，而且過程簡潔.

1 基本概念及性質(zhì)

為了敘述方便，我們將緩沖算子的相關概念、基本性質(zhì)概述如下：

定義1［1］設系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X＝（x（1），x（2），...，x（n）），對?k＝2，3，...，n，都有x（k）—x（k—1）＞0，則稱X為單調(diào)增長序列，反之則稱X為單調(diào)衰減序列.

定義2［1］設D為作用于系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X的算子，D作用X后的算子序列記為XD＝（x（1）d，x（2）d，...，x（n）d），稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列.

若D1，D2，D3，....，Dn皆為序列算子，稱D1D2為二階算子，并稱XD1D2＝（x（1）d1d2，x（2）d1d2，...，x（n）d1d2）為二階算子作用序列.同理可得三階算子作用序列，四階算子作用序列……n階算子作用序列.

定義3［1］設D為作用于系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X的算子，若滿足：

（1）x（n）d＝x（n）（不動點公理）；

（2）X中的每一個數(shù)據(jù)x（k），k＝1，2，...，n都充分參與算子作用的全過程（信息充分利用公理）；

（3）任意的x（k）d，k＝1，2，...，n皆由一個統(tǒng)一的x（1），x（2），...，x（n）的初等解析式表達（解析化、規(guī)范化公理）；則稱D為緩沖算子.

定義4［1］設D為作用于系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X的算子，當X分別為單增（減）序列時，若序列XD比序列X的增長（衰減）速度減緩，則稱D為弱化緩沖算子.

性質(zhì)1［1］設XD1為單增序列X的緩沖序列，D1為弱化緩沖算子的充要條件是x（k）≤x（k）d1（k＝1，2，...，n）.

性質(zhì)2［1］設XD2為單減序列X的緩沖序列，D2為弱化緩沖算子的充要條件是x（k）≥x（k）d2（k＝1，2，...，n）.

2 基于余切函數(shù)的弱化緩沖算子構建

定理 設系統(tǒng)原始行為數(shù)據(jù)序列為X＝（x（1），x（2），...，x（n）），x（k）＞0，k＝1，2，...，n，令XD＝（x（1）d，x（2）d，...，

x（n）d），其中x（k）d＝f（x（k））·cot（g（x（k））），且f（x（n））＝x（n），cot（g（x（n）））＝1，f（x（k）），g（x（k））關于x（k）單增，那么，

（1）當｛x（k）｝關于k單增，0＜x（k）≤f（x（k）），0＜g（x（k））≤時，則D為弱化緩沖算子.

（2）當｛x（k）｝關于k單減，0＜f（x（k））≤x（k），≤g（x（k））＜時，則D為弱化緩沖算子.

證明：容易驗證D滿足定義3，所以D為緩沖算子.

（1）當｛x（k）｝關于k單增，f（x（k）），g（x（k））關于x（k）單增，0＜x（k）≤f（x（k）），0＜g（x（k））≤時，則

所以，x（k）d≥x（k），故D對單調(diào)增長序列為弱化緩沖算子.

（2）當｛x（k）｝關于k單減，f（x（k））、g（x（k））關于x（k）單增，0＜f（x（k））≤x（k），≤g（x（k））＜時，則

所以，x（k）d≤x（k），故D對單調(diào)衰減序列為弱化緩沖算子.

證明：驗證上述f（x（k））、g（x（k））滿足定理中條件即可.

注：推論中的f（x（k））、g（x（k））可以取任意滿足定理對應條件的函數(shù).

3 實例

以文獻［8］中某市1999—2005年工業(yè)總產(chǎn)值數(shù)據(jù)（394.13，498.27，580.43，640.21，702.34，708.86，716.95）（單位：億元）作為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)初始序列，用以檢驗弱化緩沖算子在擾動系統(tǒng)預測中的應用.

用1999—2003年的總產(chǎn)值作為建模數(shù)據(jù)，而2004、2005年的總產(chǎn)值作為模型檢驗數(shù)據(jù).由前5年的總產(chǎn)值可知，年平均增長率達到了16%.很明顯，以后的增長速度不可能繼續(xù)保持，顯然不能直接用來作為建模數(shù)據(jù)進行預測.究其高增長的原因，主要是在工業(yè)發(fā)展的前期，上級政府給予了政策扶持.隨著時間的推移，上級政府將逐步取消政策扶持，工業(yè)發(fā)展速度顯然要減慢.要預測工業(yè)總產(chǎn)值發(fā)展趨勢，必須消除前期特殊政策帶來的影響，為此需對原始數(shù)據(jù)序列進行弱化處理.

以此弱化緩沖算子對原始數(shù)據(jù)（1999—2003年）：X＝（394.13，498.27，580.43，640.21，702. 34）進行二階弱化，得到新的弱化數(shù)據(jù)序列為：XDD＝（657.67，685.10，696.63，700.81，702. 34）

用上述X，XDD的數(shù)據(jù)分別建立GM（1，1）模型：

對應的時間響應式為：

通過計算得到1999—2003年的擬合總產(chǎn)值及2004—2005年的預測總產(chǎn)值，計算結果如表1，表2.

表1 擬合數(shù)據(jù)及效果對比

表2 預測數(shù)據(jù)及效果對比

4 結束語

由表1可以看出，應用原始數(shù)據(jù)序列和弱化數(shù)據(jù)序列建立GM（1，1）模型，后者模擬效果要優(yōu)于前者.由表2可以看出，用原始數(shù)據(jù)序列直接建模進行預測，效果不理想，誤差很大，平均誤差超過了10%；用本文的二階弱化算子作用原始數(shù)據(jù)后再建模，取得了很好的預測效果.因此本文所提出的弱化緩沖算子有一定的實用性.

［1］劉思峰，黨耀國，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及其應用［M］.北京：科學出版社，2010：69.

［2］鄧聚龍.累加生成灰指數(shù)律［J］.華中理工大學學報，1987（5）：7—12.

［3］Liu S F.The Three Axioms of Buffer Operator and Their Application［J］.The J of Grey System，1991（1）：39—48.

［4］劉思峰.沖擊擾動系統(tǒng)預測陷阱與緩沖算子［J］.華中理工大學學報，1997（1）：25—27.

［5］黨耀國，劉思峰，劉 斌，等.關于強化緩沖算子的研究［J］.控制與決策，2005（12）：1332—1336.

［6］關葉青，劉思峰.基于不動點的強化緩沖算子序列及其應用［J］.控制與決策，2007（10）：1189—1192.

［7］吳征鵬，劉思峰，米傳民.基于單調(diào)函數(shù)的若干實用強化緩沖算子的構造［J］.系統(tǒng)工程，2009（5）：124—126.

［8］中國統(tǒng)計局.中國統(tǒng)計年鑒［Z］.北京：中國統(tǒng)計出版社，1999—2005.

［責任編輯 范 藻］

Data Weakening Method Based on Cotangent Function

SU Hai—jun

（Mathematics andInformation College of China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

Using the cotangent function to construct new kind of weakening buffer operators.The example expresses that the new weakening buffer operator can weaken the data effectively，eliminates the impact factors on the original data，and raises the simulation and forecasting accuracy of GM（1，1）in the shock disturbed system.

cotangent function；weakening buffer operator；GM（1，1）model

O174

A

1674—5248（2014）05—0007—03

2014—01—16

四川省教育廳2013年度一般項目“灰色系統(tǒng)模型的優(yōu)化及數(shù)據(jù)預處理應用研究”（13ZB0013）

蘇海軍（1980—），男，四川廣安人.講師，碩士，主要從事灰色系統(tǒng)理論研究.