基于Mathematica的靜電場邊值問題研究

蔣少華

（韶關(guān)學(xué)院 信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 韶關(guān)512005）

在電磁場理論中，除了電荷分布已知的情況下求無界空間的靜電場問題外，實際中還遇到一些在給定邊界條件下如何求解有界空間的電場或電位函數(shù)所滿足的方程，通稱為邊界值問題.邊值問題的求解可歸結(jié)為：在指定邊界條件下求解電位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程.根據(jù)唯一性定理，在靜電場中，在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的.邊值問題求解方法主要有鏡像法、分離變量法、有限差分法［1］.

Mathematica是美國Wolfram Research公司研發(fā)的一款計算軟件，可以解決各種領(lǐng)域復(fù)雜的符號計算和數(shù)值計算的問題，方便地畫出各類圖形，從而形象地看到函數(shù)的一些特性，是目前為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一［2-6］.筆者利用Mathematica軟件對鏡像法求解點電荷與接地導(dǎo)體邊界問題，分離變量法求解接地導(dǎo)體槽空間電位的問題進行仿真研究，通過仿真結(jié)果可以觀察到不同邊界條件時場分布圖的動態(tài)變化，有助于學(xué)生加深理解.

1 點電荷與接地導(dǎo)體邊界問題

點電荷與接地導(dǎo)體邊界問題用直接求解的方法復(fù)雜而且困難，一般考慮用間接求解的鏡像法［7］.

鏡像法使用條件：根據(jù)唯一性定理，只要鏡像電荷與點電荷（原電荷）共同產(chǎn)生的電位能滿足給定的邊界條件，又在所求的區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程，那么就可以利用鏡像電荷代替點電荷在導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷.使用鏡像法應(yīng)注意3點：①鏡像電荷是虛擬電荷；②鏡像電荷置于所求區(qū)域之外；③導(dǎo)電體的表面是等位面.

下面以點電荷與無限大接地導(dǎo)體平面以及點電荷與導(dǎo)體球面不同邊界為例進行分析.

1.1 點電荷與無限大接地導(dǎo)體平面電位分布

問題1：有一點電荷q（x=d）與無限大接地導(dǎo)體平面（x=0）的距離為d（見圖1），求接地平面外空間的電位分布.

分析：該問題屬于有界空間問題，原電荷q在接地導(dǎo)體平面上會產(chǎn)生感應(yīng)電荷，感應(yīng)電荷在空間產(chǎn)生的電位很難直接計算，需要采用間接法來解決本問題，具體求解步驟如下.

（1）考慮是否可以用鏡像法等效變成無界問題再進行求解.若感應(yīng)電荷可以用鏡像電荷-q等效，等效后取消導(dǎo)體邊界面，原問題有界問題變成無界問題，假設(shè)x＞0，空間媒質(zhì)是空氣（見圖2）.

圖1 點電荷與無限大接地導(dǎo)體

圖2 鏡像電荷等效

若點電荷 q 坐標(biāo)（x′,y′），則鏡像電荷-q 坐標(biāo)（-x′,y′），可以求出在 x＞0 空間內(nèi) P 點的電位分布為：

根據(jù)電位計算公式（1），在x=0的平面上的任一點上，由于r1=r2，故電位?=0，這與原問題邊界條件相同，又鏡像電荷置于所求區(qū)域之外，即x＜0區(qū)域，根據(jù)唯一性定理利用鏡像法是可行的.

（2）利用Mathematica畫出接地平面外空間電位分布圖，程序設(shè)計流程如下：

①初始化，再用Manipulate功能設(shè)計動態(tài)畫圖控件.設(shè)置控件包括：導(dǎo)體類型：平面，球；半徑調(diào)節(jié)：僅適用于球；顯示鏡像電荷，畫電位線選擇.

② 設(shè)定電位仿真設(shè)定在z=0的平面上，演示圖是x，y二維圖.

若設(shè)定原點電荷q在x=6，y=0的位置，在x＞0空間的仿真結(jié)果見圖3，圖中b電荷（原圖為藍色電荷）是原電荷（負值），a電荷（原圖為紅色電荷），是鏡像電荷-q（正值），在x=-6，y=0的位置，即位于c接地平面的鏡像位置，電荷量跟原電荷大小一致，性質(zhì)相反；在鏡像電荷所在區(qū)域是電位為零的等位體，而在原電荷所在區(qū)域中任一點的電位是原電荷與鏡像電荷產(chǎn)生電位之和，其等位線如圖藍色曲線，曲線越密，表示電位值越大；當(dāng)改變原電荷q位置時，鏡像電荷位置會相應(yīng)改變，電位等位線也會隨著改變.仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果相符，通過鏡像電荷的方法等效實際感應(yīng)電荷，極大簡化了點電荷與接地平面的電位計算.

1.2 點電荷與導(dǎo)體球面場分布

1.2.1 點電荷與接地球面

問題2：自由空間中一接地導(dǎo)體球半徑為a，一點電荷q置于距球心距離d處（見圖4），求導(dǎo)體球外空間任一點P的電場分布.

分析：由于電位零點不在無窮遠處，這個問題屬于有界問題.與問題1不同，接地面是球面，也需采用間接法求解，具體求解步驟如下：

（1）考慮是否可用鏡像法等效變成無界問題再進行計算.若可進行鏡像等效，那么原來的有界問題，可以等效為原電荷q與鏡像電荷q1共同作用的無界問題，設(shè)鏡像電荷q1位于球心與電荷q連線上.令鏡像電荷電量為，則：

圖3 點電荷與無限大接地平面的電位分布圖

根據(jù)式（2）球面上任一點的電位?=0，這個邊界條件與原問題邊界條件（球接地）一致，因此，可以使用鏡像法.

圖4 點電荷與接地導(dǎo)體球

圖5 點電荷與接地球的鏡像電荷及場分布

（2）求球外任一點P的電場強度.根據(jù)上述分析，球外任一點P（0，y，z）電場強度可以等效為原電荷q

與鏡像電荷q1共同作用的結(jié)果，設(shè)a=1，則，得：

（3）利用Mathematica畫出接地球面外空間電場分布，程序設(shè)計流程如下：

①初始化，再用Manipulate功能設(shè)計動態(tài)畫圖控件.設(shè)置d調(diào)節(jié)，其取值范圍：1.01～5.

設(shè)定原點電荷q在y=0，z=2.8的位置，點電荷、鏡像電荷以及場分布見圖5.圖中接地球是黑色（原圖為藍色），其中心點坐標(biāo)是（0，0，0），在接地球上方的電荷（原圖為紅色）是原電荷（正電荷）q（0，0，2.8），在接地球內(nèi)部，而且在球心與原電荷q連線上的電荷（原圖為紅色）是鏡像電荷（負電荷）q1（0，0，1/2.8），從場分布情況看，接地導(dǎo)體球就是一個電位為零的等位體；球外空間任一點的電場強度就是兩個正負電荷共同作用的結(jié)果，是兩個電場強度的矢量和，電力線從原電荷q（正源）發(fā)出，流入到鏡像電荷q1（負源）.

1.2.2 點電荷與不接地球面

問題3：與問題2不同，若導(dǎo)體球不接地，求導(dǎo)體球外空間任一點P的電場分布（見圖6）.

分析：導(dǎo)體球面電位不為0，球面上存在正、負感應(yīng)電荷（感應(yīng)電荷總量為0），原問題不能直接求解，需要經(jīng)過以下求解過程：

（1）先假設(shè)導(dǎo)體球面接地，則球面上存在電量為q1的感應(yīng)電荷，鏡像電荷可采用前面的方法確定q1=

（2）斷開球面接地.將電量為-q1的電荷加到導(dǎo)體球面上，這些電荷必然均勻分布在球面上，以使導(dǎo)體球為等勢體；均勻分布在導(dǎo)體球面上的電荷-q1可以用位于球心的等量點電荷q2=q1=q等效.

（3）求球外任一點P的電場強度.由上述分析，原問題可以等效為原電荷q1、鏡像電荷q2、共同作用的

設(shè)定原點電荷在y=0，z=2.8的位置，點電荷、兩個鏡像電荷以及電場分布（見圖7），圖中導(dǎo)體球是黑色（原圖為藍色），其中心點坐標(biāo)是（0，0，0），在導(dǎo)體球上方的q電荷是原電荷（正電荷，原圖為紅色）q（0，0，2.8），在導(dǎo)體球內(nèi)部，而且在球心與原電荷連線上的電荷是鏡像電荷q1（負電荷，原圖為紅色）（0，0，1/2.8），在球心的是鏡像電荷 q2（正電荷，原圖為紅色）（0，0，0），從場分布情況看，球外空間就相當(dāng)于兩個正電荷與一個負電荷共同作用的結(jié)果，電力線從原電荷（正源）發(fā)出，流入到鏡像電荷q1（負源），鏡像電荷q2（正源）電力線往外發(fā)散的.從圖5、圖7還可以看到：邊界條件不同，對應(yīng)的解也不一樣，因此，點電荷與接地導(dǎo)體球的場分布不同于點電荷與非接地導(dǎo)體球的場分布.

圖6 點電荷與導(dǎo)體球

圖7 點電荷與不接地球的鏡像電荷及場分布

2 接地導(dǎo)體槽電位分布

問題4：圖8的長方形截面的導(dǎo)體槽，導(dǎo)體槽內(nèi)為無源區(qū)，槽可以視為無限長，其上有一塊與槽絕緣的蓋板，槽的電位為零，蓋板的電位為V0.求槽內(nèi)的電位分布.

分析：由于槽內(nèi)三面接地，這個問題屬于有界邊界問題.本問題根據(jù)已知條件可以列出電位方程，再用分離變量法直接計算，具體求解步驟如下：

（1）列出問題的電位方程以及邊界條件.由于導(dǎo)體槽內(nèi)沒有電荷，故電位滿足拉普拉斯方程，即▽2?=0，導(dǎo)體槽滿足的邊界條件為：①x=0時，?(0,y)=0；②x=a時，?(a,y)=0；③y=0時，?(x,0)=0；④y=b 時，?(x,b)=V0.

（2）利用分離變量法求解得到導(dǎo)體槽內(nèi)部電位通解.對無限長導(dǎo)體槽，電位與z無關(guān)，可以設(shè)：?（x,y）=f(x)g(y)，根據(jù)已知邊界條件計算得：

圖8 接地導(dǎo)體槽電位

求解得到接地導(dǎo)體槽內(nèi)部電位函數(shù)：

（3）利用Mathematica軟件仿真得到公式（5）中的導(dǎo)體槽電位分布.程序設(shè)計流程如下：①初始化，用Manipulate 功能設(shè)計動態(tài)畫圖控件.控件設(shè)置包括：求和階數(shù)：1，3，5，10，30；電壓位置：up，down，left，right；②設(shè)定導(dǎo)體槽各項參數(shù)：槽高b=1.5，電壓V0=2，槽寬a=k*b（k=1.5）；③根據(jù)（5）式畫出導(dǎo)體槽電位分布圖：槽電位三維圖、槽橫截面電位圖.

圖9是導(dǎo)體槽的電位分布圖（求和階數(shù)：1，電壓位置：up），圖10是導(dǎo)體槽的電位分布圖（求和階數(shù)：3，電壓位置：down），兩圖加上電壓的蓋板位置分別是上蓋板、下蓋板，其余各面都接地，圖中，x方向的解是滿足三角函數(shù)，即解從0增長到最大值，再減少到0，是符合邊界條件①、②的合理解；在y方向的解符合雙曲正弦函數(shù)，即解是從到0衰減的趨勢，是符合邊界條件③、④的合理解.改變邊界條件，得到的電位分布也不一樣，這個結(jié)果與唯一性定理的結(jié)論是相符的.

圖9 導(dǎo)體槽的電位分布圖（上蓋板加電壓）

圖10 導(dǎo)體槽的電位分布圖（下蓋板加電壓）

3 結(jié)語

利用Mathematica強大的計算功能以及圖形可視化仿真環(huán)境，通過對不同邊值問題的分析與處理，根據(jù)不同的有界空間問題采用不同的求解方法，再對求解結(jié)果用軟件進行動態(tài)仿真演示，從而彌補電磁場理論的實驗教學(xué)不足，增加了學(xué)生的感性認識，有助于學(xué)生更好地研究靜電場邊值問題.