一類部分線性時間序列模型的估計及其應用

王明輝 ，盧俊嵐

（1.韶關學院 數學與統計學院，廣東 韶關 512005；2.韶關學院 外語學院，廣東 韶關 512005；3.暨南大學 經濟學院，廣東 廣州 510632）

時間序列分析，包括線性時間序列求和自回歸移動平均（ARIMA）模型，非線性時間序列自回歸條件異方差模型和廣義自回歸條件異方差模型等［1］，近年來發展較為迅速，研究日趨成熟，理論成果較為豐富，并得到了非常成功的應用［2］.半參數時間序列模型是一類非線性時間序列模型的統稱，包括可加、單指標和變系數等模型，其中一種較為簡單的模型為部分線性模型.Yu等［3］對于具有獨立同分布誤差項的非線性自回歸模型，首先假定回歸函數來自某個參數分布族，使用局部二次擬合準則和條件最小二乘方法得到參數估計量，然后為了降低估計量的誤差，運用非參數核方法進行調整，最后證明了回歸函數估計量具有弱相合性.Farnoosh和Mortazavi［4］則將該方法運用到具有一階自相關誤差項的非線性自回歸模型中，同樣證明了所得回歸函數估計量具有弱相合性，并對伊朗商業銀行的年度存款數據進行實證分析，驗證了該模型的可行性和有效性.本文則從另一角度對文［3］做一拓展，將其方法應用到部分線性時間序列模型中，并使用韶關GDP數據檢驗方法的可行性和有效性.

1 部分線性時間序列模型及其估計

本文主要研究部分線性時間序列模型：

2 韶關GDP的實證分析

2.1 數據預處理

在以往涉及GDP的研究中，所采用的方法多為多元線性回歸、時間序列分析和灰色預測等方法.特別地，在涉及韶關GDP的文獻中，林嘉和張宗君［5］運用線性回歸方法研究了韶關市財政收入與GDP之間的內在數量關系，揭示了影響財政收入增長的主要因素，提出了促進二者協調發展的對策建議；陳煥熒［6］從韶關市義務教育資金的投入規模、支出結構、產出效益3個角度進行了研究和分析，得出制約財政經費績效提升的主要因素，提出改進政府政績考核制度、調整義務教育經費結構、提升義務教育經費績效、改善義務教育經費評價制度等方面的一些建議.本文則從部分線性模型的角度，對1978—2016年的韶關 GDP（1978年=100）數據做分析，進一步說明本文所用方法的有效性，原始數據Yt來源于《韶關統計年鑒2017》，對于Yt*=Yt/1 000繪制時序圖.

從圖1可看出該序列在這39年間呈曲線增長趨勢，顯然非平穩，而一階差分后仍顯示不平穩，但二階差分后在顯著性水平0.05下，變為白噪聲序列，因此不適合采用ARIMA模型進行擬合.

圖1 韶關市GDP時序圖

2.2 模型建立

取 g(x,θ)=θex，建立部分線性時間序列模型，所得擬合方程如下：

圖2 的真實值（實線）與估計值（虛線）對比圖

2.3 模型檢驗

對參數進行顯著性檢驗結果見表1，因此在0.05的顯著性水平下，兩個參數均顯著.

表1 參數顯著性檢驗結果

圖3為殘差序列的Q-Q圖，用來描述殘差序列是否服從正態分布.圖中的數據點基本上按照對角直線排列，趨于一條直線，并被對角直接穿過，且有95%的樣本點落在［-2,2］區間內，故應認為殘差序列近似服從正態分布.采用Shapiro-Wilk正態性檢驗方法，所得統計量的值為0.956 73，對應的值為0.148 4，也印證了殘差序列具有正態性，兩者從側面反映了本文方法的擬合效果。

2.4 模型預測

圖3 殘差序列Q-Q圖

表2 未來三年的預測值

2.5 與其他模型的比較

如前所述，該韶關GDP序列不適合采用ARIMA模型進行擬合，為了檢驗本文方法的有效性，采用二次回歸、三次回歸、指數回歸和冪模型分別進行建模，各方法所對應方程如下：

表3列出了本文所用方法與其他方法的參數估計和模型匯總.經過顯著性檢驗，發現上述模型的擬合方程均在0.05的顯著性水平下顯著，同時模型殘差也能通過正態性檢驗.只有兩個參數在該顯著性水平下不顯著，刪除這兩個參數后的擬合方程也包含在表中.與其他方法相比，本文方法擬合效果較好，具有一定的優越性.

表3 參數估計和模型匯總

3 結論和建議

本文以一類部分線性時間序列模型為基礎，引入一階自回歸項的線性分量和二階自回歸項的非線性分量，可在一定程度上避免線性時間序列模型的缺陷.采用本文模型分析韶關GDP的變化特征，利用1978—2016年的數據建立模型，預測了未來3年的數值，給出了其95%的置信下限和上限

本文的建模方法也存在一定的難點和不足.首先，模型的定階存在一定難度，Yt滯后階數的確定暫時沒有較為完善的方法.其次，參數分布族{g(x,θ);θ∈Θ}的確定也具有一定的難度，且直接影響模型的擬合效果.再次，誤差項{εt}有可能非獨立同分布隨機變量.這些難點都對研究者提出較大挑戰，需要較為準確地把握住數據本身的趨勢.