基于FFT和聚類分析的信號特征降噪算法

羅仕樂，郭星東

（韶關學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東韶關512005）

Fourier變換在物理學、數(shù)論、組合數(shù)學、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用［1-4］.數(shù)字信號處理是Fourier變換眾多應用中比較重要的一類，運用Fourier變換，可以得到周期性數(shù)字信號的時域和頻域，從而提取信號特征［5］.快速Fourier變換(Fast Fourier Transform，簡稱FFT)是20世紀的十大算法之一，F(xiàn)FT運用二分技術改進了Fourier變換在計算機上實現(xiàn)的效率，已成為目前流行的Fourier變換快速算法［6-7］.

由于實際應用中的數(shù)字信號往往含有噪聲，運用FFT對數(shù)字信號進行處理的結果會有一定程度的誤差，影響計算結果的有效性.為了盡可能減小誤差的影響，本文結合FFT和聚類分析方法建立信號特征降噪算法，并通過數(shù)值試驗展示算法的有效性.

在后續(xù)討論中，用i表示虛數(shù)單位.

1 算法建立

考慮正弦波的疊加情形：

其中：t為時間變量，Ak,hk(k=1,2,…,N)分別表示第k個信號的振幅和頻率，帶有隨機噪聲的函數(shù)ˉf(t)=f(t)+ε其中ε為隨機噪聲.

數(shù)字信號通過Fourier變換，可以轉換到頻域上進行研究.函數(shù)f(t)在N個點{}上的最小二乘離散Fourier變換為：

為了避免受到Fourier變換結果誤差的影響，對Fourier變換結果進行聚類分析［8］，期待通過聚類過程能把由隨機噪聲造成的無關頻率過濾，從而留下真實的頻率信息.聚類分析是經(jīng)典的多元統(tǒng)計分析方法，其應用的難點在于聚類數(shù)的確定.計算Fourier系數(shù)的誤差可得：

式（1）表明，F(xiàn)ourier變換所得到的頻域向量的誤差與初始噪聲ε是線性關系.這意味著利用初始隨機噪聲的方差上界來給出聚類數(shù)量的上界，會是一個較好的準則.綜合以上討論，給出信號特征降噪算法如下：

第1步：對信號函數(shù)進行FFT，得到頻域分布向量和振幅向量；

第2步：對頻域分布向量進行聚類，根據(jù)聚類結果去除噪聲，得到更新的頻域分布向量；

第3步：利用振幅和頻域分布向量還原得到原數(shù)字信號.

注 算法第2步的聚類過程，可采用經(jīng)典的K-Means聚類方法，根據(jù)式(1)，參數(shù)K的選擇可結合輸入信號的噪聲方差水平來設定，可見數(shù)值試驗的細節(jié).

2 數(shù)值試驗

通過MATLAB數(shù)值試驗展示數(shù)字信號降噪算法的有效性.

考慮由兩個正弦波疊加得到的如下數(shù)字信號：

給上述信號加上隨機噪聲：

其中ε表示服從一維標準正態(tài)分布的隨機變量，κ是給定的參數(shù)，用于控制誤差的變化幅度.從t=0開始，以0.001為間隔，取50個時間節(jié)點用于FFT的計算.

在后續(xù)試驗中，取A1=0.8,A2=1,h1=80,h2=120，ε使用MATLAB的randn函數(shù)隨機生成，借助MATLAB的聚類函數(shù)clusterdata，聚類算法鏈接生成的層次樹中保持的最大簇數(shù)設置為3，分別令κ=1,2,3,4,5,6，上節(jié)算法的運行結果分別如圖1、圖2和表1所示.

圖1 信號恢復對比圖(κ=1,2,3)

圖2 信號恢復對比圖(κ=4,5,6)

表1 不同情形下聚類降噪后所得頻率結果

由計算結果可見，當κ=1,2,3,4時，經(jīng)過聚類降噪處理后，F(xiàn)FT結果信號恢復的效果較好，振幅和頻率都跟真實值吻合；而當κ=5,6時，信號恢復效果較差，第二個正弦波的頻率估計結果都出現(xiàn)了誤差.

由于該信號的噪聲方差為κ2，當κ=5,6時，該信號的方差已遠遠超過了該信號函數(shù)的最大理論振幅值2≈2.56，因此，頻率的估計出現(xiàn)誤差是正常的.注意到，在κ=3,4時，本文的算法仍然得到了很好的信號還原效果，這表明了引入聚類分析所建立算法的有效性.

3 結語

本文利用FFT和聚類分析構建了信號特征降噪算法，結合高效的FFT方法，聚類方法的引入可以過濾原數(shù)字信號的噪聲，數(shù)值試驗展示了新算法的有效性.本文的分析方法和數(shù)值試驗思路可以推廣到其他類型的數(shù)字信號應用中.